课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线
[练基础小题——强化运算能力]
1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个
124交点，则该直线的斜率的取值范围是( )
A.?－C.?－x2y2
????
33?，? 33?33?，? 33?
B．(－3，3) D．[－3，3 ]
3
x.当过3
解析：选C 由题意知，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±
点F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是?－
?
?33?
，?，故选C. 33?
2．已知经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y＝1有两个不同的交点P和Q，
2则k的取值范围是( )
A.?－x2
2
??22?，? 22?
B.?－∞，－
?
?2??2??∪?，＋∞? 2??2?
C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选B 由题意得，直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得＋(kx＋2)
2
x2
2
?12?22
＝1，整理得?＋k?x＋22kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k?2?
222??2???12?2
－4?＋k?＝4k－2>0，解得k<－或k>，即k的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?.
22?2?2??2??故选B.
3．过抛物线y＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 C．有且只有三条
B．有且只有两条 D．有且只有四条
2
解析：选B ∵通径2p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3>2p，故这样的直线有且只有两条．
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
445410810
A．2 B. C. D.
555
解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
x2
2
x??＋y2＝1，
由?4??y＝x＋t∴
|AB|
＝
2
8
消去y，得5x＋8tx＋4(t－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝
5
2
2
2
t2－
5
.
1＋k|x1－＝x2|＝1＋k2
·x1＋x2
2
－4x1x2＝
2· ?－8t?2－4×?5???
t2－
5
424102
·5－t，故当t＝0时，|AB|max＝. 55
x2y2
5．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，F(2，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直
ab线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________．
c＝2，??b解析：由题意得?＝1，
a??a＝b＋c，
22
2
2
?a＝2，
解得?
?b＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
42
x2y2
答案：＋＝1
42
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．椭圆ax＋by＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
3a，则＝( ) 2b3
293
2
23 B.
323 D.
27
2
2
x2y2
A.
C.
解析：选A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，
y2－y1ax1＋x2ax0a2a3
＝－·＝－·＝－·＝－1，所以＝. x2－x1by1＋y2by0bb23
2．经过椭圆＋y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O2为坐标原点，则OA·OB等于( )
x2
2
A．－3 1
C．－或－3
3
1 B．－ 31 D．± 3
解析：选B 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x422
－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y＝1并整理得3x－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以231?41?两个交点坐标分别为(0，－1)，?，?，∴OA·OB＝－，同理，直线 l经过椭圆的左
3?33?1
焦点时，也可得OA·OB＝－.
3
3．已知抛物线y＝2px的焦点F与椭圆16x＋25y＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则点A的横坐标为( )
A．2 B．－2 C．3
2
2
2
2
2
x2
D．－3
解析：选D 16x＋25y＝400可化为＋＝1，
2516则椭圆的左焦点为F(－3,0)，
x2y2
??2
又抛物线y＝2px的焦点为?，0?，准线为x＝－，
2?2?
所以＝－3，即p＝－6，即y＝－12x，K(3,0)．
2设A(x，y)，则由|AK|＝2|AF|得
(x－3)＋y＝2[(x＋3)＋y]，即x＋18x＋9＋y＝0， 又y＝－12x，所以x＋6x＋9＝0，解得x＝－3.
4．已知抛物线y＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 C．x＝2
B．x＝－1 D．x＝－2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ppp2
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵两点在抛物线上，
?y1＝2px1， ①?∴?2
??y2＝2px2， ②
2
①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4， 又直线的斜率为1，∴
y1－y2
＝1，∴2p＝4，p＝2， x1－x2
p∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
2