第5讲 导数的综合应用与热点问题
高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e－ax. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
(1)证明 当a＝1时，f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－2x. 令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e－2. 令g′(x)＝0，解得x＝ln 2. 当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0； 当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.
∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.
(2)解 若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e－ax＝0在(0，＋∞)上只有一个解， ee
由a＝2，令φ(x)＝2，x∈(0，＋∞)，
xxx2
x2
x2xxxxe（x－2）
φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，解得x＝2. 3
xx当x∈(0，2)时，φ′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0. ee∴φ(x)min＝φ(2)＝.∴a＝. 44
2.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax－ax－xln x，且f(x)≥0. (1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e
－2
－2
2
2
2
则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0， 因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0， 1
而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1，得a＝1.
x1
若a＝1，则g′(x)＝1－. x当0
所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0. 综上，a＝1.
(2)证明 由(1)知f(x)＝x－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x， 1
设h(x)＝2x－2－ln x，则h′(x)＝2－. 2
x?1?当x∈?0，?时，h′(x)<0； ?2??1?当x∈?，＋∞?时，h′(x)>0. ?2?
?1??1?所以h(x)在?0，?单调递减，在?，＋∞?单调递增.
?2??2??1?－2
又h(e)>0，h??<0，h(1)＝0，
?2?
?1??1?所以h(x)在?0，?有唯一零点x0，在?，＋∞?有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；?2??2?
当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0. 因为f′(x)＝h(x)，
所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点. 由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)， 故f(x0)＝x0(1－x0). 1?1?由x0∈?0，?得f(x0)<.
4?2?
因为x＝x0是f(x)在(0，1)的最大值点，
由e∈(0，1)，f′(e)≠0得f(x0)>f(e)＝e. 所以e
考 点 整 合
1.利用导数研究函数的零点
函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横