第5讲 导数的综合应用与热点问题
高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e－ax. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
(1)证明 当a＝1时，f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－2x. 令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e－2. 令g′(x)＝0，解得x＝ln 2. 当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0； 当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.
∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.
(2)解 若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e－ax＝0在(0，＋∞)上只有一个解， ee
由a＝2，令φ(x)＝2，x∈(0，＋∞)，
xxx2
x2
x2xxxxe（x－2）
φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，解得x＝2. 3
xx当x∈(0，2)时，φ′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0. ee∴φ(x)min＝φ(2)＝.∴a＝. 44
2.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax－ax－xln x，且f(x)≥0. (1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e －2 －2 2 2 2 则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0， 因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0， 1 而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1，得a＝1. x1 若a＝1，则g′(x)＝1－. x当0 所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0. 综上，a＝1. (2)证明 由(1)知f(x)＝x－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x， 1 设h(x)＝2x－2－ln x，则h′(x)＝2－. 2 x?1?当x∈?0，?时，h′(x)<0； ?2??1?当x∈?，＋∞?时，h′(x)>0. ?2? ?1??1?所以h(x)在?0，?单调递减，在?，＋∞?单调递增. ?2??2??1?－2 又h(e)>0，h??<0，h(1)＝0， ?2? ?1??1?所以h(x)在?0，?有唯一零点x0，在?，＋∞?有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；?2??2? 当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0. 因为f′(x)＝h(x)， 所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点. 由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)， 故f(x0)＝x0(1－x0). 1?1?由x0∈?0，?得f(x0)<. 4?2? 因为x＝x0是f(x)在(0，1)的最大值点， 由e∈(0，1)，f′(e)≠0得f(x0)>f(e)＝e. 所以e 考 点 整 合 1.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问 －2 －2 －1 －1 －1 －2 题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1 3 2 a的符号 a＞0 (f(x1)为极大值， 零点个数 一个 两个 三个 一个 两个 三个 充要条件 f(x1)＜0或f(x2)>0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＞0且f(x2)＜0 f(x1)>0或f(x2)＜0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＜0且f(x2)＞0 f(x2)为极小值) a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值) 3.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明f(x) b)上的最大值小于0，即可证明f(x) (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立I是f(x)>g(x)的解集的子集②x∈I，使f(x)>g(x)成立∈I). ③对x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2 f(x)－g(x)]min>0(x∈I). f(x)－g(x)]max>0(xI与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集 f(x)max≤g(x)min. f(x)min≥g(x)min. ④对x1∈I，x2∈I使得f(x1)≥g(x2 温馨提醒 解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键. 热点一 利用导数研究函数的零点(方程的根) 【例1】 (2018·西安调研)函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值. (1)求f(x)的单调区间； (2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.