第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a与b的夹角是90°时，a与b垂直，记作a⊥b，当a与b的夹角为0°时，a∥b，且a与b同向，当a与b的夹角为180°时，a∥b，且a与b反向．
2．平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影； |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 投影 几何意义 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论 模 数量积 夹角 几何表示 |a|＝a·a 坐标表示 |a|＝x1＋y1 22a·b＝|a||b|cos θ a·bcos θ＝ |a||b|a·b＝0 |a·b|≤|a||b| a·b＝x1x2＋y1y2 cos θ＝x1x2＋y1y2 22x2x21＋y1·2＋y2a⊥b |a·b|与|a||b|的关系 x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2|
≤x1＋y1·x2＋y2 [常用结论] 1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a－b. (2)(a＋b)＝a＋2a·b＋b. (3)(a－b)＝a－2a·b＋b.
3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) →→
(1)在△ABC中，向量AB与BC的夹角为∠B. ( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．
(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.
( ) ( )
2
2
2
2
2
22
2
2222[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( ) A．－4 B．4
3232
C. D．－ 77
A [a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A.]
3．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为( ) A.
ππ
B. 63
C.
2π5π
D. 36
a·b－633
D [cos θ＝＝＝－，
|a||b|2×62
5π
又0≤θ≤π，则θ＝，故选D.]
6
4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________. 2 [由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0， 解得m＝2.]
5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.]
平面向量数量积的运算 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3
C．2 D．0
2
2
B [因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|－a·b＝2×1－(－1)＝3，故选B.]
→→→
2．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为 ( ) 32A．－ B．－35
2
C.32
D．35 2
→→→
C [因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为
→→
→→→AB·CD1532|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝，故选C.]
→252|CD|
3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并→→
延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
51A．－ B. 88→→→B [如图所示，AF＝AD＋DF.
111C. D. 48
又D，E分别为AB，BC的中点，
→1→→1→1→3→
且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，
2244→1→3→
所以AF＝AB＋AC.
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