精选圆相关压轴题参考答案与试题解析
1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：PC=PF；
（3）若tan∠ABC=，AB=14，求线段PC的长．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；
（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到ABC=，所以可得
，进而可得到
，又因为tan∠
，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC
中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长．
【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD， 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD， ∴∠ACO=∠DAC． ∵OC=OA，
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∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即AC平分∠DAB； （2）证明：∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD=90°． 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠PCB+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠PCB． 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB． ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC=∠PCF， ∴PC=PF；
（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB， ∴
．
又∵tan∠ABC=， ∴∴
， ，
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7， ∵PC2+OC2=OP2，
∴（4k）2+72=（3k+7）2， ∴k=6 （k=0不合题意，舍去）． ∴PC=4k=4×6=24．
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【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，是一道不错的中考题题目．
2．已知△ABC中，BC=5，以BC为直径的⊙O交AB边于点D． （1）如图1，连接CD，则∠BDC的度数为 90° ； （2）如图2，若AC与⊙O相切，且AC=BC，求BD的长； （3）如图3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的长．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）如图1，只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题； （2）如图2，连接CD，根据条件可得△ACB是等腰直角三角形，从而得到∠B=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形，然后运用勾股定理就可解决问题；
（3）如图3，连接CD，根据条件可得△ADC是等腰直角三角形，从而得到DA=DC，设BD=x，然后在Rt△BDC运用勾股定理就可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，
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