考点38 双曲线
一、选择题
1.(2018·全国卷II高考理科·T5) 同(2018·全国卷II高考文科·T6)双曲线-=1(a＞0,b＞0)的离心率为,则其渐近线方程为 ( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
【命题意图】本题考查双曲线的简单几何性质. 【解析】选A.因为e==,所以=
=3,即=2,=±,所以渐近线方程为
y=±x.
2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T11)设F1,F2是双曲线C:-=1(a＞0,b＞0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若
=
,则C的离心率为 ( )
A. B.2 C. D.
【命题意图】本题以双曲线作为问题背景,考查直线的交点,双曲线的几何性质及离心率的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.
【解析】选C.方法一:设渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为
ax+by-ac=0,由可得P,由F1(-c,0)及|PF1|=|OP|,
1
得=×,化简可得3a2=c2,即e=.
方法二:因为|PF2|=b,|OF2|=c,
∴|PO|=a,在Rt△POF2中,设∠PF2O=θ,则有cosθ=∵在△PF1F2中,cosθ=∴
=,
=;
=?b2+4c2-6a2=4b2?4c2-6a2=3c2-3a2?c2=3a2?e=.
3.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C:-=1(a＞0,b＞0)的离心率为,则点
到C的渐近线的距离为 ( )
A. B.2 C. D.2
【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的应用,意在考查双曲线的离心率、渐近线,以及基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】选D.方法一(直接法):由已知,双曲线C的一条渐近线为y=x,即
bx-ay=0,
所以点(4,0)到C的渐近线的距离为d=因为a2+b2=c2,离心率e==,
所以e2==2,a2=,+b2=c2,b2=,=,=,所以d=2. 方法二(数形结合):
=,
2
画图草图,记C的递增的渐近线斜率为k,倾斜角为α,点P(4,0)到C的渐近线的距离为d,则k=tanα=(借助以角α为内角的直角三角形,α对边为b,邻边为a,由勾股定理求得斜边c),
所以sinα=
=,
又离心率e==, 记c=t,则a=t, 所以b=t,sinα==,
在Rt△OPQ中,sinα=,所以=,所以d=2.
4.(2018·天津高考理科·T7)同 (2018·天津高考文科·T7)已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为 ( ) A.-=1 B.-=1
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