2．2.2 间 接 证 明
1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？
提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．
2．已知正整数a，b，c满足a＋b＝c.求证：a，b，c不可能都是奇数． 问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能．
问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a＋b＝c吗？ 提示：都是奇数．若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a＋b＝c.
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．
2．反证法 (1)反证法证明过程
反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：
肯定条件p导致逻“若p则
→→“p且q”为假→
否定结论q辑矛盾q”为真(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．
2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．
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[对应学生用书P30]
用反证法证明否定性命题 [例1] 已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．
[精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、
C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．
(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．
(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．
综上所述．原结论成立．
[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．
(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．
1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．
①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.
解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”． 答案：④
2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证
2
明直线BM与直线A1N是两条异面直线．
解：假设直线BM与A1N共面． 则A1D1?平面A1BND1，
且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，
由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN， 又A1D1∥BC，所以BN∥BC.
这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立． 所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．
3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b， c不成等差数列．
证明：假设a，b，c成等差数列， 则a＋c＝2b， 即a＋c＋2ac＝4b，
而b＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac， 所以(a－c)＝0.即a＝c，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故a， b， c不成等差数列．
用反证法证明惟一性命题
[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[思路点拨] “有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”． [精解详析] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点． 若直线a，b无交点，
则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B， 这样同时经过点A，B就有两条直线，
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．
2
2
3
4．证明方程2＝3有且仅有一个根．
证明：∵2＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．
下面用反证法证明方程2＝3的根是惟一的，假设方程2＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.
两式相除得：2b1－b2＝1.
如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾． 如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾． 因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故2＝3有且仅有一个根．
5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直． 解：已知P?平面α.
求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．
证明：(1)存在性：∵P?平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．
(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．
由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一． 综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．
用反证法证明“至多”、“至少”型命题
[例3] 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1. 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[思路点拨] 本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．
[精解详析] 假设a、b、c、d都不是负数， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.
∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1
xxxxx
4
＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1. ∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0. ∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1， 即ac＋bd≤1. 与ac＋bd>1相矛盾．
∴假设不成立．∴a、b、c、d中至少有一个是负数．
[一点通] (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表： 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有(不存在) 至多有一个 至少有n个 至多有n个 至少有两个 至多有n－1个 至少有n＋1个
1
6．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
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证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
4∵a，b，c∈(0,1)，
∴1－a＞0,1－b＞0,1－c＞0， ∴同理
－a＋b≥2
－ab＞11＝. 42
－b＋c1
＞，22－c＋a1
＞. 22
－b＋c＋2
－c＋a3
＞， 22
三式相加，得33
即＞，矛盾． 22
－a＋b＋2
1
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
4
7．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，
b]上至多只有一个实数根．
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，
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