向量在中学数学教学中的应用

向量在中学数学教学中的应用

苏晓霞

向量是既有大小又有方向的量，其中既有代数中的数量(即大小)，又有几何中的方向，是代数与几何的有机结合．向量有线性运算、数乘和数量积等，既有线段表达式，又有坐标表达式，具有几何形式和代数形式“双重身份”，是中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．可利用向量的良好的代数运算性和几何直观性以及二者相互转化的简明性，清晰扼要地来描述和解决．这不仅在宏观上有利于学生形成良好的认知结构，有利于学生思维能力和创新能力的培养，而且在微观上有利于提高学生分析和解决数学问题的能力．

向量的应用是教学中的难点与重点，既丰富多彩又十分优美，要始终抓住平面向量的基本定理(空间向量的基本定理)及如何恰当选择问题中的基向量，使问题中的有关量符号化(向量化)，于是向量运算顺利进入计算与推理，从而解决面临的问题.本文通过向量在代数、几何、三角、复数等问题中的应用举例，强调必须重视向量应用教学．

平面向量知识是解决数学问题的重要工具, 应用它解题, 可以使问题化繁为简、化难为易, 有助于激发学生的学习兴趣, 有助于提高学生的创新意识和思维能力。本文举例介绍向量在中学数学中的应用。 一：向量与图形

11

例1 已知P、Q过△OAB的重心G，OP:OA=m，OQ:OB=n, 求证： +=3。

mn分析 这是涉及到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。 → 为基向量，其它有图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量→OA 、OB向线段用基向量线性表示。

设 →OA =a，→OB =b， 则

1

11→→→,→=( a+b), =OD2OG3( a+b)，→OP=mOAOQ=n→OB。

11→→→=-=(-m) a+b, PGOGOP33→=OQ→-→PQOP= nb –ma。 ∵P、Q、G共线，

11→∴存在λ，使→=λ，即(-m) a+b=λ（nb –ma）。 PGPQ33

1111

整理，得(-m+λm)a +（–λn）b=0，于是，-m+λm=0， –λn=0，消

333311

去λ，得+=3。

mn

例2 已知△ABC中，AM:AB=1:3，AN:AC=1:4,，BN与CN 交于点E，AB=m，AC=n,

∠BAC=60°，求AE之长（图7-24）。

解 问题涉及到比例，长度与距离，因此必须运用向量的三种运算求解。 11→→→选择 →=a， =b 为基向量，则= a－b, =ABACNBCM3a－b。 4

因N、E、B共线, C、E、M共线，故存在实数λ,μ，使

11→→→→=λ=λ(a-b), =μ=μ(a-b)。∵→+→+→NENBCECMNCCEEN=0 ， 43311

∴b +μ(a-b)- λ( a-b)=0 ， 434

311

(－μ+λ)b + (μ－λ)a=0 。 443∵a,b不共线，

2

3--μ4∴{

1 μ3

1

+λ=0439

解得λ=，μ= 。

1111

-λ=0

13133→→∴→=+=b +(a-b)= a+ b AEANNE41141111112

→ |AE|=(3a+2b) =9m2+4n2+6mn 。

1111

例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1。

证 欲证明两个平面垂直，只须证明这两个平面的法向量相互垂直即可。

由于ABCD- A1B1C1D1是个正方体，故可建立坐标系，应用向量坐标的运算来解决。

→1所在直线为以A 为原点，分别以→AB、→AD、AAx轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图7-25），

11

则D(0,1,0)、E(1, 0,) 、F(,1,0) 、A1(0,0,1)、D1(0,0,1)，于是→AD =(0,1,0), 2211→→→ =(1, 0,), =(0,1,0), =(,1,0) 。 AEA1D1D1F22

→ 在平面ADE内，所以有n1

设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z)，而→AD 、AE→ , n1⊥AE→ ， ⊥AD

1

求得y=0，x=-z, 所以平面ADE的一个法向量为

2

12

n1= (－,0,1) 。

3