剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力???,即 ??5.2挤压的实用计算
名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则
Q???? （3-28） A?bs?Pbs???bs? （3-29） Abs式中，Abs表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。
挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力
?bs?P???bs? （3-30） Abs1， 变形计算
圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为
???Tdx (rad) (4.4) 0GIPl若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为
??Tl (rad) (4.5) GIP 图4.2
式中GIP称为圆轴的抗扭刚度。显然，?的正负号与扭矩正负号相同。 公式（4.4）的适用条件：
（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即???P；
（2） 在长度l内，T、G、IP均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭
转角。即
???i?1nTili (rad) (4.6) GiIPi当T、IP沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算?。 2， 刚度条件
扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角?'max不得超过许可的单位长度扭转角??'?,即
?'max?Tmax???'? (rad/m) (4.7) GIPTmax18?0式 ?'max?????'? （?/m） （4.8）
GIP?2，挠曲线的近似微分方程及其积分
在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系
1MEI??
1M?x?? ??x?EI对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得
利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 ?''?将上式积分一次得转角方程为 ???'??M?x?dx?C （4.10） EIM?x? （4.9） EI?M?x??再积分得挠曲线方程 ?????dx?dx?Cx?D （4.11）
EI??式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边
界条件外，还需要利用连续条件。 3，梁的刚度条件
限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 ?max???? ，?max???? （4.12） 3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能
在线弹性范围内，由功能原理得 V??W?1F?l 22FlFl当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律?l?N，可得 V??N （4.14）
EA2EA杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用V?表示。线弹性范围内，得 V?? 4，圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内，由功能原 Vr?W?1Me? 21?? （4.15） 2TlT2l将Me?T与??代入上式得 Vr? （4.16）
GIP2GIP图4.5
根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度Vr： Vr? 5，梁的弯曲应变能
在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得
1 V??W?Me?
2MlM2l将Me?M与??代入上式得 V?? （4.18）
EI2EI1?r （4.17） 2 图4.6
横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用
M2?x?dx式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能V?，即V??? （4.19）
2EIl2．截面几何性质的定义式列表于下：
静 矩 惯性矩 惯性半径 惯性积 极惯性矩 Sy??zdA AIy??z2dA A iy?IyAIyz??yzdAAIp??p2dA A Sz??ydAAIz??y2dA Aiz? Iz A3．惯性矩的平行移轴公式
Iy?IyC?a2A Iz?IzC?b2A
静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。 定义式： Sy??zdA，SAz??ydA （Ⅰ-1）
A量纲为长度的三次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。则
A?zC??z?dA?Sy
AzdASy?A由此可得薄板重心的坐标 zC为 zC? ?AAS同理有 yC?z
ASyS所以形心坐标 zC?，yC?z （Ⅰ-2）
AA或 Sy?A?zC，Sz?A?yC
由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 yC?0 ，Sz?0 ；zC?0 ，则 Sy?0 ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第 I 块分图形的面积为 Ai ，形心坐标为
yCi,zCi ，则其静矩和形心坐标分别为 Sz??AiyCi，Sy??AizCi （Ⅰ-3）
i?1i?1nnSyC?z?A?Ayii?1nCi?Ai?1n，zC?SyA??Azii?1nnci （Ⅰ-4）
ii?Ai?1§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径
惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。
Iy??z2dA，Iz??y2dA （Ⅰ-5）
AA量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义
iy?为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径。
IyA，iz?Iz （Ⅰ-6） Ann组合图形的惯性矩。设 Iyi,Izi 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为Iy??Iyi，Iz??Izi （Ⅰ-7）
i?1i?1若以?表示微面积dA 到坐标原点O的距离,则定义图形对坐标原点O的极惯性矩
Ip???2dA （Ⅰ-8）因为 ?2?y2?z2
A所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 Ip?下式 Iyz???yA2?z2dA?Iy?Iz （Ⅰ-9）
?式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
?AyzdA （Ⅰ-10）
定义为图形对一对正交轴 y 、z 轴的惯性积。量纲是长度的四次方。 Iyz 可能为正，为负或为零。若 y ，z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。 §Ⅰ-3平行移轴公式
?y由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴
c,zc 时，如图Ⅰ-7所示，可得到如下平行移轴公式
?Iy?IyC?a2A?2?Iz?IzC?bA （Ⅰ-13） ?I?IyCzC?abA?yz?简单证明之：
Iy??z2dA???zC?a?dA??zCdA?2a?zCdA?a2?dA
22AAAAA其中
?AzCdA 为图形对形心轴 yC 的静矩，其值应等于零，则得
Iy?IyC?a2A
同理可证（I-13）中的其它两式。
结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。把斜截面上的总应力p分解成与斜截面垂直的正应力?n和相切的切应力?n（图13.1c）,则其与主应力
的关系为
?n??1l2??2m2??3n2 （13.1）
?n??12l2??22m2??32n2??n2 （13.2）
在以?n为横坐标、?n为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上的正应力?n和切应力?n为由三个主应力所确定的三个圆所围成区域（图13.2中阴影）中的一点。由图13.2显见
???3?max?1
2
图13.2