第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件及其运算
随机现象：概率论的基本概念之一。是人们通常说的偶然现象。其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.
随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为?。样本空间的元素,即E的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的
集合.称试验E的样本空间?的子集为E的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间?包含所有的样本点,它是?自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集?不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.
互斥事件（互不相容事件）: 若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A?B?Φ ，则称事件A与事件B是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A与事件B满足条件A?B?Φ，A?B??,则称A与B是互逆事件，
也称A 与B是对立事件,记作B?A（或A?B）。
互不相容完备事件组：若事件组A1,A2,?An满足条件Ai?Aj?Φ，（i,j?1,2?n），
?nAi?? ,则称事件组A1,A2,?An为互不相容完备事件组(或称A1,A2,?An为样本空
i?1间?的一个划分)。
§1.2 随机事件的概率
概率：随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百
分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。
统计概率：在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，
如果随着n逐渐增大，频率nAn逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。
古典概型：若随机现象有下列两个特征 (1) 试验的可能结果（基本事件）只有有限个；
(2)试验中每个可能结果（基本事件）出现的可能性相等.则称这类现象的数学模型为古典概型. 古典概率：在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（
），则定义事件Ａ的概率
为
.即
把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重复试验。
§1.3 概率的基本运算法则
加法公式: 设A,B为任意两个事件，则P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB).当A,B满足
A?B?Φ时,加法公式为P(A?B)?P(A)?P(B)。
条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B已发生条件下的条件概率，记作P(AB)。当P(B)?0时，规定P(AB)?规定P(AB)?0。 乘法公式：设A,B为任意两个事件，若P(B)?0，则P(A?B)?P(B)PAB)。同理，
P(A?B)；当P(B)?0时，P(A)若P(A)?0，P(A?B)?P(A)P(BA)，
事件的独立性：如果事件A与B满足P(A)?P(AB)，则称事件A关于事件B是独立的。 独立性是相互的性质，即A关于B独立，B一定关于A独立，或称A与B相互独立。
§1.4 全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式：设事件组B1,B2,?Bn是样本空间?的一个划分,且P(Bi)?0，
i?1,2,?,n，则对任意的事件A??，有
P(A)??P(Bi)P(A/Bi)
i?1n此公式称为全概率公式。
贝叶斯公式：设事件组B1,B2,?Bn是样本空间?的一个划分，P(Bi)?0，i?1,2,?,n， 对任意的事件A，且P(A)?0，则
P(Bj/A)?P(Bj)P(A/Bj)?P(B)P(A/B)iii?1n， j?1,2,?,n.
此公式称为贝叶斯公式。
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量
随机变量：设E是一随机试验，它的样本空间为 Ω?{e}，如果对于?内的每一个e，变量
X都有一个确定的实数值X(e)与之对应，则变量X是样本点e的实函数，记作X?X(e)。
这样的变量称为随机变量。
随机变量的分布：要全面了解一个随机变量，不但要知道它取哪些值，而且要知道它取这些值的统计规律，随机变量取值的统计规律就称为它的概率分布，简称分布。
分布函数：设X是一随机变量，x是任意实数，由 F(x)?P{X?x} 确定的函数称为随机变量X的分布函数。如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(??,x)上的概率。对于任意实数x1?x2，
因此分布函数完整地描述了随机P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}?F(x2)?F(x1)，
变量的统计规律性。
离散型随机变量：如果随机变量X的可能取值只有限个或可列个，则称它为离散型随机变量。若X的可能取值为xi(i?1,2,?)，相应的概率P{X?xi}?pi称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。
Bernoulli试验：只有两个可能结果的随机试验称Bernoulli试验。
试验的独立性：若是试验E1的可能结果与E2的可能结果的发生与否是独立的，则称试验E1 与E2是相互独立的。
n重Bernoulli试验：把Bernoulli试验重复独立进行n次，称为n重Bernoulli试验。 n重Bernoulli试验是一种非常重要的的概率模型，它是“在相同条件下进行重复试验或观察”的一种数学模型.
二项分布：若将Bernoulli试验中的一个可能结果记为A且P(A)?p(0?p?1),n重
Bernoulli试验中A出现的次数记为X,则随机变量X的概率函数为
P{Xkk?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,2,?,n
X的分布称为服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).当n?1时,X的概率函数
}?p，P{X?0}?1?p，(0?p?1),则称X服从参数为p的两点分布（或为P{X?10-1分布）.
泊松分布：若随机变量X的概率函数为 P{X?k}??ke??k!(??0) k?0,1,2,?
则称X服从参数为?的Poisson分布，记作X~P(?)。
连续型随机变量：设随机变量X所有可能取值充满一个区间,如果相应于它的分布函数
F(x)存在非负函数f(x)，对于任意的实数x都有
xF(x)????f(x)dx
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数. f(x)有如下性质：
（1）
?????f(x)dx?1，
（2）P(x1?X?x2)??x2x1f(x)dx
均匀分布: 如果随机变量X的概率密度函数为
?1?, a?x?b,f(x)??b?a
?其它,?0,则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b). 指数分布: 如果随机变量X的概率密度函数为
???e??x,x?0,f(x)????0,x?0. 其中??0为常数
则称X服从参数为?的指数分布, 记为X~E(?).
正态分布: 如果随机变量X的概率密度函数为
f(x)?12??e?(x??)22?2 ，???x???，
22其中?,?(??0)为常数，则称X服从参数为?,?的正态分布,记为X~N(?,?).当
??0,??1时,称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1).
随机向量: 如果X1,X2是是联系于同一样本空间?中的两个随机变量，则称(X1,X2)为二维随机变量或二维随机向量。对任意两个实数x1,x2，二元函数
F(x1,x2)?P(X1?x1,X2?x2)称为(X1,X2)的联合分布函数。
FX1(??,x2)?P(X1???,X2?x2)或FX2(x1,??)?P(X1?x1,X2???)称为X1或
X2的边缘分布函数。
常用的随机变量函数的分布：（1）?-分布 设独立随机变量X1,X2,?Xn均服从标准正态分布N（0,1），则随机变量??22X?i的分布称为服从是自由度为n的?2分布,记作i?1n2