河北省华北油田三中中考数学第二轮专题复习 新情境应用问题
Ⅰ、综合问题精讲：
以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（2005，宜宾）如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据2?1.41，3?1.73)．
解：(1)100；（2）(60?10t)；
⑶作OH?PQ于点H，可算得OH?1002?141（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则PH?20t?1002，算得t?52（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：60?10?52?130.5（千米）＜141（千米）
∴城市O不会受到侵袭。
点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决，也可借助于方程．
【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里
用心 爱心 专心
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外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：
⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
解：设需要t小时才能追上，则A B=24 t，OB=26t．
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（l）在Rt△AOB中，OB= OA+ A B，
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即（26t）=10 +（24 t）
解得t=±l，t=－1不合题意，舍去，t=l， 即需要1小时才能追上．
AB24t12
（2）在Rt△AOB中，因为sin∠AOB= = = ≈0.9231 ，所以∠AOB≈6 7．4°，
OB26t13 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°．
点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图．
【例3】（2005，河南）（10分）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种
活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
⑴按该公司要求可以有几种购买方案？
⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。
由题意，得7x?5(6?x)?34，
解这个不等式，得x?2，即x可以取0、1、2三个值， 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。
【例4】（2005，临沂）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装
用心 爱心 专心
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饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
解：根据题意，可有三种购买方案； 方案一：只买大包装，则需买包数为：50?5；
由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元) 方案二：只买小包装．则需买包数为：
480?16 3048048所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元)
方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包．小包装y包．所需费用为W元。 则??50x?30y?480 W?W?30x?20??10x?320 3∵0?50x?480，且x为正整数， ∴x?9时，W最小?290(元)．
∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。 答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。
点拨：数学知识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。
【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为α，β，OA=2米，
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tanα= , tanβ= ,位于点O正上方2 米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个
53火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米(图中E点)。
⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式； ⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C？
解：⑴由题意可知：抛物线顶点坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为y?a(x?h)2?k,即y?x(x?12)2?20
2 ∵点D在抛物线上，所以2=a(?12)?20,即a??8
1 ∴抛物线解析式为：y??1x2?3x?2(0?x?12?410)
8 ⑵过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则
用心 爱心 专心 3