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课时提升作业 四
绝对值三角不等式
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.已知|x-m|<,|y-n|<,则|4x+2y-4m-2n|小于 ( ) A.ξ B.2ξ C.3ξ D. 【解析】选C.|4x+2y-4m-2n|=|4(x-m)+2(y-n)| ≤4|x-m|+2|y-n|<4×+2×=3ξ.
【补偿训练】若|x-a| 2.(2016·商丘高二检测)已知x∈R,不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立,则实数a的取值范围为 ( ) A.(-∞,4] B.[4,+∞) C.[1,3] D.[-1,3] 【解析】选B.因为x∈R,所以|x+1|-|x-3|≤|(x+1)-(x-3)|=4, 故使不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立的实数a的取值范围为a≥4. 3.设变量x,y满足|x-1|+|y-a|≤1,若2x+y的最大值是5,则实数a的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 【解析】选B.设点M(1,a),则满足|x-1|+|y-a|≤1的点(x,y)构成区域为平行四边形ABCD及其内部, 如图所示: 令z=2x+y,则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距,故当直线y=-2x+z过点C(2,a)时,z取得最大值为5,即4+a=5,求得a=1. 二、填空题(每小题6分,共12分) 4.x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为________. 【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解. 【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥ |x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2, 故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2, 所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2. 答案:[0,2] 5.若不等式|2a-1|≤____________. 对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是 【解析】=|x|+≥2, 所以由已知得|2a-1|≤2, 即2a-1≤2或2a-1≥-2,解得-≤a≤. 答案:[-,] 三、解答题(每小题10分,共30分) 6.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.若存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围. 【解析】f(x)=|2x-1|-|x+2|= 所以f(x)min=f =-. 因为存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m, 所以4m-2m2>f(x)min=-, 整理得:4m2-8m-5<0,解得- . 7.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围. 【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式. 【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6, 因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥ |(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,