北京科技大学2002——2003学年度第一学期
量子力学与原子物理试题
题号 得分 一 二 三 四 五 总分 学院： 班级： 学号： 姓名：
1。无限高势阱中的粒子[38分]
质量为m的一个粒子在边长为a立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：
??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V?? ???,others1-1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?）求系统能量本征值和归一化波函数；[8分]
1-2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。[8分]
1-3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；[12分]
1-4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；[10分]
2解：1-1）定态薛定谔方程：?2??2??x,y,z??E??x,y,z?
分离变量：??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?，E?Ex?Ey?Ez
?2d2X?x????EXx???X?x???x2?2?dx?2??d2Y?y???；?EYy?????Y?y??y2?2?dy??2d2Z?z?????Z?z???EzZ?z?2????2?dz2?m?x?sin??a?a?2?n?y?sin??a?a?2?l?z?sin??a?a?22??2E?m?x2?a2?22??2?n ；?Ey?22?a?22??2l?Ez?22?a???2???x,y,z?????a?23/2?m?x??n?x??l?x?sin??sin??sin?? ?a??a??a?Emnl?2222?m?n?l?，m,n,l?1,2,3,... 2?2?a32?21-2）系统基态能量：E0?E111?，简并度：1
2?a2第一激发态能量：E1?E211?E121?E11232?2，简并度：3 ??a2SA1-3）电子是费米子，波函数应是反对称的：?A?r1,s1z;r2,s2z????r1,r2???s1z,s2z?
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
32?2基态：E0?2E111?，基态波函数：
?a2?A?r1,s1z;r2,s2z???111?x1,y1,z1??111?x2,y2,z2??A??x???y???z???x???y???z??2????sin?1?sin?1?sin?1?sin?2?sin?2?sin?2? ?a??a??a??a??a??a??a?1??????s1z????s2z?????s1z????s2z???2332?21-4）玻色子可占据相同态，基态：E0?2E111?，基态波函数： 2?a?S?r1,r2???111?x1,y1,z1??111?x2,y2,z2???x1???y1???z1???x2???y2???z2? ?2????sin??sin??sin??sin??sin??sin??aaaaaa?????????????a?
2。玻色-爱因斯坦凝聚[25分]
承接上题，假设有N个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，当温度T?0时，将发生玻色-爱因斯坦凝聚，即全部玻色子都布居在系统基态。实际上，当T趋于某个临界温度Tc时，就可观察到玻色-爱因斯坦凝聚的发生。这可以解释为：T?Tc时，量子效应不明显，粒子可看作是经典粒子，不发生玻色-爱因斯坦凝聚。当T?Tc时，量子效应不可以忽略，玻色-爱因斯坦凝聚开始发生。1995年，Ketterle（2001年诺贝尔物理奖）使用Na原子为玻色子，在实验中观测到了Na原子的玻色-爱因斯坦凝聚。 2-1）实验中Na原子气的数密度为：n（1501/331.5?1020m?3，估算粒子间平均距离d。[5分]
?5.313）
2-2）根据能均分原理，估算粒子在温度T时的平均动能E。[5分] 2-3）根据德布罗意关系，估算粒子物质波波长?dB。[5分]
2-4）当粒子平均距离d小于物质波波长?dB时，相邻原子波函数交叠很厉害，量子效应不可以忽略，玻色-爱因斯坦凝聚开始发生；而当粒子平均距离d大于物质波波长?dB时，相
邻原子波函数几乎不交叠，量子效应可以忽略，不发生玻色-爱因斯坦凝聚。利用条件：
d??dB，估算发生玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度Tc。[10分]
（注：实验观测值为n?10K数量级）
[物理常数：Na原子质量：MNa?3.848?10?26kg，普朗克常数：h?6.626?10尔兹曼常数：kB?1.381?10?23J/K] 解：2-1）n??34?6J，玻
N1?3，所以：d?n?1/3 Vd2p22-2）根据能均分原理，单粒子平均能量：E??2?2-3）?dB?k22?3?kBT 2hhh ??p3?kBT2?Eh2h2h2/3?62-4）d??dB，d?，Tc??n?8?10K ??23?kBd3?kB3?kBTc
讨论）实验测量值为：Tc??2?0.5??10K，与估算值相差还是较大的。更严格的计算：
?6假设有N个无相互作用玻色子，在温度T时，部分玻色子N0由于玻色-爱因斯坦凝聚占据最低能态E0，其余玻色子Ne?N?N0则占据各激发态E1,E2,...
N?N0?Ne?N0??f???D???d?，f????0?1exp???1???kBT
dgd3pd3qV2D?????4?pdp（假设玻色子自旋为0） 为态密度，dg??2s?1?33d?hh?d?p2dgV?2??，dp?，D???????2?2?p2?d?4???Ne??f???D???d???0??3/2? 3/21exp0?????kBTV?2??2?2??14????d?
?V?2????4?2?2?3/2??1exp0???1???kBT?d?在绝对零度时，全部玻色子发生玻色凝聚，重新选择能量零点为系统基态能（??0）：