第45讲 空间点、线、面之间的位置关系
考试要求 1.平面的基本性质及其简单应用(证明一些空间图形的位置关系的简单命题)(A级要求)；2.空间点、线、面的位置关系(A级要求).
诊 断 自 测
1.下列命题中正确的个数为________. ①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确. 答案 2
2.(必修2P23练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面α内”为________.
解析 考查点、线、面之间的符号表示. 答案 P?l，l?α
3.(必修2P31习题5改编)下列说法中正确的是________(填序号). ①两两相交的三条直线共面；
②四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形； ③平行四边形的四边所在的四条直线共面；
④若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD不一定异面. 解析 当三条直线交于一点时有可能不共面；四条线段首
尾相接，所得的图形可以构成空间四边形；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD一定异面，可反证. 答案 ③
4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________.
1
EF23
解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠
FG23EGF＝45°，
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝60°.
答案 45° 60°
5.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
GF23
＝3，∴∠GBFBF2
①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中正确命题的序号是________．
解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 答案 ②③④
知 识 梳 理
1.四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行直线???共面直线?
? ??相交直线
??异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线
a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角.
?π?②范围：?0，?.
2??
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
考点一 平面基本性质的应用
【例1】 (1)(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件.
(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上11
的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
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①E、F、G、H四点共面； ②三直线FH、EG、AC共点.
(1)解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交. 答案 充分不必要
(2)证明 ①连接EF，GH，如图所示，
∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF∥BD.
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