等比数列作业题
1．在等比数列{an}中，a3 和 a5 是二次方程 x?kx?5?0 的两个根，则a2a4a6 的值为（ ）（A）?55 （B）55 （C） ?55 （D）25 2. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是（ ）
A．(0,21?5?1?51?51?51?5,1] C．[1,,) ) B．() D．(222223.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于（ ）
A.210 B.220 C.216 D.215 4.已知?an?是等比数列，a2?2，a5?1，则a1a2?a2a3???anan?1? 4A.16?1?4?n? B.16?1?2?n? C.
32321?4?n? D.1?2?n? ??3325.若实数a、b、c成等比数列，则函数y?ax?bx?c与x轴的交点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
2n6. 等比数列?an?前n项的和为2?1，则数列an前n项的和为______________。
??7.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12－nan2+an+1an=0（n∈N*），则它的通项公式an=___________________. 8.（2004年全国，文14）已知等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=___________________. 9.设?an?为公比q?1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的两根，则a2006?a2007?__________。
210.某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________.
11.设?an?是由正数组成的等比数列，公比q?2，且a1a2a3???a30?230，则a3a6a9???a30?__________。 12.设两个方程x?ax?1?0、x?bx?1?0的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab?________。 13. 数列?an?为各项均为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项和为6560，求首项a1和公比q。
14. （1）已知?an?为等比数列，a3?2，a2?a4?2220，求?an?的通项公式。 3（2）记等比数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?an?66，a4an?3?128，Sn?126，求n和公比q的值。 15. 已知数列?an?，其中an?2?3，且数列?an?1??an?（?为常数）为等比数列，求常数?。
nn16. 设?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是等比数列。 17.设数列?an?的前n项和为Sn，已知ban?2??b?1?Sn
n1
（1）证明：当b?2时，an?n?2n?1是等比数列； （2）求?an?的通项公式。
18. 已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.
剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q. 评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法. 思考讨论
用a2和q来表示其他的量好解吗？该题的{an}若成等差数列呢？
19. 已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn.
剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得akn，然后列方程求得kn.
评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：akn是等差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项. 20.等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：
（1）前100项之和S100. （2）通项公式an.
21.数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1（n≥2），若an+Sn=n.
（1）设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列； （2）求数列{bn}的通项公式.
??1an－1+1（n≥2），求通项公式an. 2aaa51923. 已知数列{an}中，a1=，a2=并且数列log2（a2－1），log2（a3－2），…，log2（an+1－n）是公差为－
636333aaa11的等差数列，而a2－1，a3－2，…，an+1－n是公比为的等比数列，求数列{an}的通项公式.
3222a分析：由数列{log2（an+1－n）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an+1与an的一个递推关系式①；
3a由数列{an+1－n}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出an+1与an的另一个递推关系式②.解两个关系式的方
222. 数列{an}中，a1=1，an=
程组，即可求出an.
24.从盛满a L（a＞1）纯酒精容器里倒出1 L，然后再用水填满，再倒出1 L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.
25.数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，an?1?n?2?S?Sn(n?1，2，3，…)，证明：数列?n?是等比数列． n?n?26.已知数列?lgan?是一个等差数列，第p项等于q，第q项等于p(p?q)，试判断数列?an?是否为等比数列，若是，写出其通项公式．
27.已知在数列?an?中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：
a1，a3，a5成等比数列．
2
等比数列作业题参考答案
21、【答案】A解析：根据韦达定理，有a3a5?5，又因为a4则a4??5，所以a2a4a6??55。 ?a2a6?a3a5?5，
?a?aq?aq2?q2?q?1?0??2、【答案】D 设三边为a,aq,aq2,则?a?aq2?aq，即?q2?q?1?0
?aq?aq2?a?q2?q?1?0???1?51?5?q??22??1?51?5? 得?q?R，即 ?q?22??q??1?5,或q??1?5?22?3、解析：由等比数列的定义，a1·a2·a3=（
答案：B
4、C 解析：等比数列?an?的公比q?3a33a?a?a9????a303
），故a1·a2·a3·…·a30=（3610）.又q=2，故a3·a6·a9·…·a30=220. qqa5311??，显然数列?anan?1?也是等比数列，其首项为a2822a2222aaa?1?1a1a2???8，公比q??nn?1?n?1?q2????，
q12an?1anan?1?2?4??1?n?8?1?????4??????321?4?n。
?a1a2?a2a3???anan?1???131?4?b?ac，5、A 解析：a、b、c成等比数列，?二次函数y?ax2?bx?c的判别式??b?4ac??3b?0，
从而函数与x轴无交点。
2224n?11?4nnn?1n?12n?126、【答案】 Sn?2?1,Sn?1?2?1,an?2,an?4,a1?1,q?4,Sn?
1?437、解析：分解因式可得［（n+1）an+1－nan］·［an+1+an］=0，又an＞0，则（n+1）an+1－nan=0，即
an?1n=.又a1=1，ann?1由累积法可得an=
答案：
1. n1 na10－－
=128=27，故q=2.∴an=a3·qn3=3·2n3. a8、解析：由已知得q7=答案：3·2n3 9、18
－
3
解析：4x?8x?3?0的两根分别为
21313a和，q?1，从而a2004?、a2005?，?q?2005?3。2222a2004a2006?a2007??a2004?a2005??q2?2?32?18。
10、解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，
1.1a(1?1.15)∴S5==11×（1.15－1）a.
1?1.1答案：11×（1.15－1）a
11、2
30解析：a1a2a3???a30??a1a30??2，?a1a30?22?4，
152021051020??a3a6a9???a30??a3a30???a1a32???aaq?aa?q?4?2?2。 ????130130??555512、
27 4解析：设该等比数列为x1、x2、x3、x4， ?x1x4?x2x3?x12q3?8x12?1，
?x1?111，从而x2?、x3?2、x4?22， ?82221??1?27??ab??22?2?????4。
22??2??
13、解：若q?1，则应有S2n?2Sn，与题意不符合，故q?1。依题意有：
?a1?1?qn???80??????????????????????(1)1?q? ?2n?a1?1?q??6560???????????????????(2)?1?q?(2)1?q2n2nn得即?82q?82q?81?0 n(1)1?q得q?81或q?1（舍去），?q?81。
由q?81知q?1，?数列?an?的前n项中an最大，得an?54。
nnnn将q?81代入（1）得a1?q?1 （3），
n4
由an?a1qn?1?54得a1qn?54q，即81a1?54q （4）， 联立（3）（4）解方程组得??a1?2。 q?3?14、解：（1）设等比数列?an?的公比为q（q?0），a2?a4?a2020，则3?a3q?， 3q3即
1220110也即?q?，解此关于q的一元方程得q?或q?3。 ?2q?3q3q3n?3an?a3q?1?，?an?2????3?n?3?2?33?n或?an?2?3n?3。
（2）在等比数列?an?中，有a4an?3?a1an?128，又a1?an?66，联立解得
?a1?2?a1?64或?， ?a?64a?2?n?n1??q?2?q?a1?anq?126，从而解得?由此知q?1，而Sn?或?2。
1?q?n?6?n?6?15、解：?an?1??an?为等比数列，那么?an?1??an???an?2??an?1??an??an?1?，将an?2n?3n代入并整理得
21(2??)(3??)?2n?3n?0，解之得???2或???3。 616、
17、解：（1）证明：由题意知a1?2，且ban?2??b?1?Sn，ban?1?2nn?1??b?1?Sn?1
两式相减得b?an?1?an??2??b?1?an?1，即an?1?ban?2n ①
n当b?2时，由①知an?1?2an?2n，于是
an?1??n?1??2n?2an?2n??n?1??2n?2?an?n?2n?1?
n?1又a1?1?2n?1?1?0，所以an?n?2是首项为1，公比为2的等比数列。
??（2）当b?2时，由（1）知an?n?2n?1?2n?1，即an??n?1?2 当b?2时，由①得
n?1；
an?1?11b?2n?1?ban?2n??2n?1?ban??2n 2?b2?b2?b1???b?an??2n?
2?b??5