2019-2020学年(秋)高中数学 1.2.2函数的表示法(第3课时)学案设
计 新人教A版必修1
学习目标
①了解映射的概念及表示方法;
②会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射;
③感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.
合作学习
一、设计问题,创设情境
前面学习了函数的概念:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数和它对应.
(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应. (2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应. (3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应. 那么这些对应又有什么特点呢?
二、自主探索,尝试解决
问题1:①给出以下对应关系:
这三个对应关系有什么共同特点?
②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义. ③“都有唯一”是什么意思? ④函数与映射有什么关系?
三、信息交流,揭示规律 分组讨论归纳的结论: ① ② ③ ④
四、运用规律,解决问题
【例1】下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?
(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐
标系中的点与它的坐标对应;
(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.
【例2】下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么? (1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”; (2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”; (3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;
(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.
【例3】设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求:
(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;
(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?
五、变式演练,深化提高
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1.设映射f:x→-x+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
2.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):
表1 映射f的对应法则
原象 象
表2 映射g的对应法则
原象 象 1 2 3 4 4 3 1 2 1 2 3 4 3 4 2 1
则与f[g(1)]相同的是( )
A.g[f(1)] B.g[f(2)]
C.g[f(3)] D.g[f(4)]
3.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( )
A.对集合A中的数开平方 B.对集合A中的数取倒数
C.对集合A中的数取算术平方根 D.对集合A中的数立方 六、反思小结,观点提炼
请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容? 七、作业精选,巩固提高 必做:课本P23练习4.
选做:已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射?并说明理由. (1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”;
(2)A={-1,0,2},B={-1,0,},对应法则:“取倒数”; (3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;
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(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a-1);
*
(5)A=N,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数. 参考答案 三、信息交流,揭示规律
①集合A,B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应. ②一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.
如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y,那么集合A中的元素x叫做集合B中的元素y的原象,集合B中的元素y叫做集合A中的元素x的象.
③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.
④函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.
【例2】解:(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应. (2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素. (3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.
(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中都有无穷多个元素与之对应.
点评:本题主要考查映射的概念.给定两集合A,B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.
【例3】解:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1). (2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应, 则解得
所以A中元素(,)与B中元素(-1,2)对应.