第一章 热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。 解：已知理想气体的物态方程为
pV?nRT, （1）
由此易得
??1??V?nR1??, （2） ??V??T?ppVT1??p?nR1??, （3） ??p??T?VpVT???T??????????2??. （4）
V??p?T?V??p?p1??V??1??nRT?1
1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：
lnV=??αdT?κTdp?
如果??,?T?1T1，试求物态方程。 p解：以T,p为自变量，物质的物态方程为
V?V?T,p?,
其全微分为
??V???V?dV??dT???dp. （1） ???T?p??p?T全式除以V，有
dV1??V?1??V???dT???dp. ?VV??T?pV??p?T根据体胀系数?和等温压缩系数?T的定义，可将上式改写为
1
dV??dT??Tdp. （2） V上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnV????dT??Tdp?. （3）
若??,?T?，式（3）可表为
?11?lnV???dT?dp?. （4）
p??T1T1p选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到?T,p0?，再积分到（T,p），相应地体
积由V0最终变到V，有
lnVTp=ln?ln, V0T0p0即
pVp0V0， ??C（常量）
TT0或
pV?1T1pC. T （5）
式（5）就是由所给??,?T?求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。
2
1.8 满足pVn?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为
Cn?n??CV n?1解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
??Q???U???V?Cn?lim???p?????. （1） ?T?0?T??n??T?n??T?n对于理想气体，内能U只是温度T的函数，
??U????CV, ??T?n所以
??V?Cn?CV?p??. （2） ?T??n将多方过程的过程方程式pVn?C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得
。 （3） TVn?1?C1（常量）
将上式微分，有
Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,
所以
V??V???. （4） ???T(n?1)T??n代入式（2），即得
Cn?CV?pVn???CV, （5） T(n?1)n?1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n?常量。
Cn?CpCn?CV。假设气体的定压热容量和定容热容量是
3