第二章 函数 2.1 函数及其表示
考纲要求
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．
1．函数与映射的概念 两集合 A，B 对应关系 f：A→B 函数 映射 设A，B是两个非空____ 设A，B是两个非空____ 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____一个____，在集合B中____________的____和它对应 称________为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)，(x∈A，y∈B) 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的____一个______在集合B中__________的______与之对应 称对应______为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 名称 记法 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域．
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：__________、__________和__________． 3．函数的表示方法
表示函数的常用方法有__________、__________和__________． 4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．设f，g都是从A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：
x 1 2 3 f 3 1 2 g 3 2 1 则f(g(3))等于( )． A．1 B．2
C．3 D．不存在
2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )．
1
A．f：x→y＝x
21
B．f：x→y＝x
32
C．f：x→y＝x
3
D．f：x→y＝x
3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．
2
A．f(x)＝lg x，g(x)＝2lg x
x＋1
B．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)
x－1C．f(u)＝
1＋u，g(v)＝1－u2
1＋v 1－v1x＋
2
D．f(x)＝x，g(x)＝x 4．(2012山东高考)函数f(x)＝A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2]
??3，x≤1，
5．已知函数f(x)＝?
?－x，x>1，?
x＋4－x的定义域为( )．
若f(x)＝2，则x等于( )．
A．log32
B．－2
C．log32或－2 D．2
一、求简单函数的定义域、值域
【例1－1】(2012江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为__________． 【例1－2】已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域． 【例1－3】求下列函数的值域：
2
(1)y＝x＋2x，x∈[0,3]；
(2)y＝2；
(3)y＝log3x＋logx3－1. 方法提炼
1．求函数定义域的方法
(1)求具体函数y＝f(x)的定义域： 函数给 确定定义域的方法 出的方式 列表法 表中实数x的集合 图象法 图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合 解析法 使解析式有意义的实数x的集合 实际问题 有实际意义及使相应解析式有意义的x的集合 (2)求抽象函数的定义域： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：定义域必须写成集合或区间的形式． 2．求值域的方法
常见的求值域的方法有：①配方法；②换元法；③基本不等式法；④利用函数的单调性；⑤分离常数法；⑥数形结合法；⑦导数法等．
3．若两个函数的定义域与值域相同，它们不一定是同一函数，如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sin x与y＝cos x，其定义域都为
x2?1R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．
4．分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集；最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的；图象则是由各段上的图象合成的．
请做演练巩固提升1,4
二、求函数的解析式
【例2－1】若函数f(x)＝x(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，则f(x)ax＋b＝__________.
【例2－2】若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)．
2
【例2－3】已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x＋x. (1)求x＞0时，f(x)的解析式；
2
(2)若关于x的方程f(x)＝2a＋a有三个不同的解，求a的取值范围． 方法提炼
函数解析式的求法：
1．凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； 3．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
?1?4．方程思想：已知关于f(x)与f??或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另
?x?
外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
提醒：因为函数的解析式相同、定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．
请做演练巩固提升2
忽略分段函数中自变量的取值范围而致误
??x＋bx＋c，x≤0，
【典例】设函数f(x)＝?
??2，x>0，
2
若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关
于x的方程f(x)＝x的解．
2
错解：当x≤0时，f(x)＝x＋bx＋c. 因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
??所以?
??
－－
22
－2b＋c＝c，
－b＋c＝－3，
??x＋2x－2，x≤0，所以f(x)＝?
??2，x>0.
2
2
??b＝2，解得?
??c＝－2.
当x≤0时，由f(x)＝x得x＋2x－2＝x得x＝－2或x＝1.
当x＞0时，由f(x)＝x得x＝2. 所以方程f(x)＝x的解为：－2,1,2.
2
分析：(1)条件中f(－2)，f(0)，f(－1)所适合的解析式是f(x)＝x＋bx＋c，所以可构建方程组求出b，c的值．(2)在方程f(x)＝x中，f(x)用哪个解析式，要进行分类讨论．
2
正解：当x≤0时，f(x)＝x＋bx＋c， 因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
2
??－2b＋c＝c，?－?b＝2，?∴解得? 2?－?c＝－2.－b＋c＝－3，??
??x＋2x－2，x≤0，∴f(x)＝?
?2，x>0.?
2
2
当x≤0时，由f(x)＝x得，x＋2x－2＝x，