【教学主题】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质 【教学目标】：
1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、 φ 、A对图像的影响．
2．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋ φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． 【知识梳理】
用“图像变换法”作y＝Asin(ωx＋ φ) (A>0，ω>0)的图像 1．φ对y＝sin(x＋ φ)，x∈R的图像的影响
y＝sin(x＋ φ) (φ ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线
y＝sin x上所有的点向 (当φ>0时)或向 (当φ<0时)平行移动 个单位长度而得
到．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标 (当ω>1
1
时)或 (当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标 )而得到．
ω3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝Asin(ωx＋ φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋ φ)图像上所有点的纵坐标
(当A>1时)或 (当0 要点一 三角函数图像的平移变换 π??例1要得到函数y＝sin?2x＋?的图像，只要将y＝sin 2x的图像( ) 3?? π A．向左平移个单位 3π B．向右平移个单位 3π C．向左平移个单位 6π D．向右平移个单位 6 规律方法：已知两个函数的解析式，判断其图像间的平移关系的步骤： ①将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构． ?φ?②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为??. ?ω? 1 π??跟踪演练1：要得到y＝cos?2x－?的图像，只要将y＝sin 2x的图像( ) 4??ππ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 88ππ C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 44π??π??解析：y＝sin 2x＝cos?－2x?＝cos?2x－? 2??2?? ??π?π???π??＝cos?2?x－??＝cos?2?x－?－? 8?4?4????????π?π?若设f(x)＝sin 2x＝cos ?2?x－?－?， 8?4??? π?π?π??则f?x＋?＝cos?2x－?，∴向左平移个单位 8?4?8??要点二：三角函数图像的综合变换 π??例2函数y＝2sin?2x－?＋1的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？ 6??解：(先平移后伸缩)： 各点的纵坐标伸长到原来的2倍 y＝sin x―――――――――――――――――――――→ 横坐标不变 y＝2sin x y＝2sin?x－? 6 ?? π?? 向上平移1个单位 π??y＝2sin?2x－?――――――――――→ 6?? y＝2sin?2x－?＋1. 6 ?? π? ? ?φ?规律方法：在三角函数的图像变换中，先伸缩后平移变换的平移量为??个单位，先平移后伸缩变换的平?ω? 移量为|φ|个单位，两者不一样，应特别注意． π 跟踪演练2：把函数y＝f(x)的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐 62?1π?标缩短到原来的倍，所得图像的解析式是y＝2sin?x＋?，求f(x)的解析式． 3?3?2 ?1π?解：y＝2sin?x＋? 3??2?1π?y＝3sin?x＋? ?2? ? 3? y＝3sin?x＋? 3 π?? 2 ????y＝3sin?x＋＋?＝3sin?x＋?＝3cos x. 632 ? ? ? ? ∴f(x)＝3cos x. 一、选择题 π 2x＋?的图像的一个对称中心是( ) 1．函数y＝cos?3??5π? A．??6，1? π?C．??12，0? [答案] C ππππ 2×＋?＝cos＝0，[解析] 由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A、B，当x＝时，y＝cos??123?122故选C. 2．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像( ) A．向左平移1个单位 1 C．向左平移个单位 2[答案] C 1 [解析] ∵y＝cos(2x＋1)＝cos[2(x＋)]， 2 1 ∴只须将y＝cos2x的图像向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图像． 21π 3．函数y＝sin(x－)的图像的一条对称轴是( ) 23π A．x＝－ 2π C．x＝－ 6[答案] C ππ5ππ [解析] 由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－. 3266 π 4．将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来10的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( ) π2x－? A．y＝sin?10??1πx－? C．y＝sin??210?[答案] C π 2x－? B．y＝sin?5??1πx－? D．y＝sin??220?π B．x＝ 2π D．x＝ 6 B．向右平移1个单位 1 D．向右平移个单位 2π?B．??3，－1? π?D．??24，0? πππ 3