多元线性回归模型
一、多元线性回归模型的一般形式
设随机变量y与一般变量x1,x2,?,xp的线性回归模型为：
y??0??1x1??2x2????pxp?? 其中：
写成矩阵形式为：y?X???
?1?y1????1y2???y? X?????????y??n??1x11x21?xn1x12x22?xn2???x1p???0???1??????x2p?1?? ???? ???2?
?????????????xnp?????n???p??二、多元线性回归模型的基本假定
1、解释变量x1,x2,?,xp是确定性变量，不是随机变量，且要求
ran(kX)?p?1?n。这里的rank(X)?p?1?n表明设计矩阵X中自变量列之间
不相关，样本容量的个数应大于解释变量的个数，X是一满秩矩阵。
E(?i)?0,i?1,2,?,n????2,i?j2、随机误差项具有0均值和等方差，即：?
cov(?i,?j)??,(i,j?1,2,?,n)??0,i?j?E(?i)?0，即假设观测值没有系统误差，随机误差?i的平均值为0，随机误差?i的协方差为0表明随机误差项在不同的样本点之间是不相关的（在正态假定下即
为独立），不存在序列相关，并且具有相同的精度。
??i~N(0,?2),i?1,2,?,n2?~N(0,?In),3、正态分布的假定条件为：，矩阵表示：???1,?2,??n相互独立由该假定和多元正态分布的性质可知，随机变量y服从n维正态分布，回归模型的期望向量为：E(y)?X?；var(y)??2In 因此有y~N(X?,?2In) 三、多元线性回归方程的解释
对于一般情况含有p个自变量的回归方程E(y)??0??1x1??2x2????pxp的解释，每个回归系数?i表示在回归方程中其他自变量保持不变的情况下，自变量xi每增加一个单位时因变量y的平均增加程度。因此通常把多元线性回归的回归系数称为偏回归系数。下面看个例子，考虑国内生产总值GDP和三次产业增加值的关系，这个问题中GDP=x1?x2?x3是确定性的函数关系，可以看作误差项为
0的特殊回归关系。3个回归系数都是1，对?2解释为第二产业增加值x2每增加1亿元GDP也增加1亿元。假设做GDP对x2的一元线性回归，得到回归方程为
??5289.9?1.8554x2，对这个方程回归系数的解释是第二产业增加值每增加1y亿元GDP增加1.8554亿元。两个回归方程对同样的经济现象给出了不同的解释，问题出在什么地方呢？多元回归系数表示在回归方程中其他自变量保持不变的情况下，相应自变量每增加一个单位时因变量的平均增加速度。因此在用多元回归方程GDP=x1?x2?x3解释?2=1时，一定要强调是在x1和x3保持不变的情况下，
??5289.9?1.8554x2解x2每增加1亿元GDP也增加1亿元。在用一元回归方程y释回归系数时，要强调的是在方程之外的有关变量也相应变化时x2每增加1亿元GDP增加1.8554亿元。GDP增加的1.8554亿元中x2的直接贡献只用1亿元，回归方程外的x1和x3的贡献是0.8554亿元。这里又出现一个问题，为什么回归方程外的x1和x3贡献是0.8554亿元，而不是2亿元呢？可以通过考察数据，x2的增加幅度远大于x1和x3的增加幅度，假如x2增加1亿元，x1和x3相应的增加幅度都达不到1亿元。 四、参数估计
要想用OLSE估计多元线性回归模型的未知数，样本容量必须不少于模型中参数的个数。
在正态假定下，回归参数?的MLE（最大似然估计）与OLSE（最小二乘估计）
2?完全相同，即???(X?X)?1X?y，误差项方差?2的MLE为??L1nSSE?1n(e?e)，这
是?2的有偏估计，但它满足一致性，在大样本的情况下，是?2的渐近无偏估计量。
参数估计量的性质：
性质1，??是随机向量y的一个线性变换 性质2，??是?的无偏估计 性质3，D(??)??2(X?X)?1
性质4，高斯-马尔科夫（G-M）定理
（1）c???是c??的无偏估计
（2）c???的方差要小
高斯-马尔科夫定理 在假定E(y)?X?,D(y)??2In时，?的任一线性函数
?，其中c是任一p+1维常数向量，??是?的c??的最小方差线性无偏估计为c??最小二乘估计。
此定理说明了用OLSE估计得到的估计量??是理想的估计量。关于这条性质，
需要注意以下四点：
第一，取常数向量c的第j（j?0,1,?,p）分量为1，其余分量为0，这时
?是?的最小方差线性无偏估计。 G-M定理表明最小二乘估计?jj
第二，可能存在y1,y2,?,yn的非线性函数，作为c??的无偏估计，比最小二
乘估计c???的方差更小。
第三，可能存在c??的有偏估计量，在某种意义（例如均方差最小）下比最
小二乘估计c???更好。
第四，在正态假定下，c???是c??的最小方差无偏估计。
性质5，cov(??,e)?0，在正态假定下??与e不相关等价与??与e独立，从而??与SEE=e?e独立。 性质6，当
?~N(?,?2(X?X)?1)??y~N(X?,?In)时，则?22?SEE?~?(n?p?1)2
五、自变量的显著性
如何剔除多余的不显著的自变量？y对自变量x1,x2,?,xp线性回归的残差平方和为SSE，回归平方和为SSR，在剔除掉xj后，用y对其余的p-1个自变量作回归，所得的残差平方和记为SSE(j)，回归平方和为SSR(j)，则自变量xj对回归的
贡献为：?SSR(j)?SSR?SSR(j)，称为xj的偏回归平方和。由此可以构造偏F统计量：Fj??SSR(j)1SSE(n?p?1)，当原假设H0j:?j?0成立时，偏F统计量Fj服从
自由度为（1，n-p-1）的F分布，此F检验与回归系数的t检验是一致的，当从回归方程中剔除变量时，回归平方和减少，残差平方和增加。反之，当往回归方程中引入变量时，回归平方和增加，残差平方和减少，两者的增减量同样相等。 六、关于拟合优度
R2?SSRSST,R2与回归方程中自变量的数目以及样本容量n有关，当样本容量n
与自变量个数接近时，R2易接近1，其中隐含着一些虚假成分。由R2决定模型优劣时还需慎重。 七、中心化和标准化
因为多元回归涉及的数据量很大，就可能由于舍入误差而使计算结果不理想。产生舍入误差有两个主要原因，一是回归分析计算中数据量级有很大差异，比如数据10000与0.1111这样的大小相差悬殊的数据出现在同一个计算中；二是设计矩阵X 的列向量近似线性相关时，X?X为病态矩阵，其逆矩阵(X?X)?1就会产生较大的误差。 1、中心化
多元线性回归模型的一般形式为:y??0??1x1??2x2????pxp??
????x???x?????x ???其经验回归方程为:y01122pp此经验方程进过样本中心(x1,x2,?,xp;y),将坐标原点移至样本中心，即作坐标
??xij?x变换：xijyi??yi?yi?1,2,?,n;j?1,2,?,p上述经验方程即
????x????x??????x?即为中心化经验回归方程。中心化经验????转变为：y01122pp?保持不变，回归方程的常数项为0，而回归系数的最小二乘估计值?因为坐标系j平移变化只改变直线的截距，不改变直线的斜率。
2、标准化回归系数
为了消除量纲不同和数量级的差异所带来的影响，就需要将样本数据作标准化处理，然后用最小二乘法估计未知参数，求得标准化系数。
??样本数据标准化公式：xijxij?xjLjjnijyi??yi?yLyy2i?1,2,?,n;j?1,2,?,p
n其中：Ljj??(xi?1?xj)2，Lyy??(yi?1i?y)
标准化回归系数与最小二乘回归系数之间存在关系式：???j?LjjLyy? ?j?表示在其他变量不变的情况下，自变量x的每单位的绝对普通最小二乘估计?jj??表示自变量x的1%相变化引起的因变量均值的绝对变化量。标准化回归系数?jj对变化（相对于Ljj）引起的因变量均值的相对变化百分数（相对于Lyy）。
标准化回归系数是比较自变量对y影响程度相对重要性的一种较为理想的方法，有了标准化回归系数后，变量的相对重要性就容易进行比较了。但是，仍要注意对回归系数的解释须采取谨慎的态度，这是因为当自变量相关时会影响标准化回归系数的大小。 八、相关阵与偏相关系数 1、样本相关阵
负相关系数R反映了y与一组自变量的相关性，是整体和共性指标，简单相关系数反映的是两个变量见的相关性，是局部和个性指标。在分析问题时，应该本着整体与局部相结合，共性与个性相结合的原则。求出y与每个自变量xi的相关系
?1?r?1yr??r2y数ryi，得到增广的样本相关阵为：~????r?pyry11r21?rp1ry2r121?rp2????ryp??r1p?r2p????1??
2、偏决定系数
在多元线性回归分析中，当其他变量被固定后，给定的任两个变量之间的相关系数，叫偏相关系数。偏相关系数可以度量p+1个变量y,x1,x2,?,xp之中任意两个变量的线性相关程度，而这种相关程度是在固定其余p-1个变量的影响下的线性相关。偏决定系数测量在回归方程中已包含若干个自变量时，再引入某一个新的自变量时，y的剩余变差的相对减少量，它衡量某个自变量对y的变差减少的边际贡献。
（1）两个自变量的偏决定系数
二元线性回归模型为：yi??0??1xi1??2xi2??i，i?1,2,?,n
记SSE(x2)是模型中只含有自变量x2时y的残差平方和，SSE（x1，x2）是模型中同时含有自变量x1和x2时y的残差平方和。模型中已含有x2时，再加入x1使y的剩余变差的相对减小量为：ry21,2?时，y与x1的偏决定系数。 （2）一般情况
在模型中含有x2,?,xp时，y与x1的偏决定系数为：
ry1;2,?,p?2SSE(x2)?SSE(x1,x2)SSE(x2)此时模型中已含有x2SSE(x2,?,xp)?SSE(x1,x2,?,xp)SSE(x2,?,xp)，偏决定系数与回归系数显著性检验
的偏F值是等价的。 3、偏相关系数