立体几何的解题思路
四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波
《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。
一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变.
例1．（1）已知直线a,b所成角为60o，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、b所成角均为60o，则这样的直线l有几条？
解：经过点P作直线m//a, n//b, 则直线m,n所成角为60o或120?,点P作直线m,n的两条角平分线，其中有一条与m,n所成角均为60o，另一条与m,n所成角均为30?，把这条角平分线沿着点P旋转可以得到两条直线与m,n所成角均为60o，从而与a、b所成角均为60o的直线有三条.
问题的推广：已知直线a,b所成角为60o，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、b所成角均为?，这样的直线l有四条，则角?应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有零条呢？
答案：有四条时，60o???90o；有两条时，30o???60o；有一条时，??30,90;有零条时，0????30?.
变式：（1）已知直线a与平面?所成角的大小为60o，经过空间中一点P作直线l，使直线l与直线a和平面?所成角均为45o，则这样的直线l有几条？
（2）已知平面?与平面?所成锐二面角的大小为60o，经过空间中一点P作直线l，使直线l与平面?和平面?所成角均为60o，则这样的直线l有几条？
(3)正三棱锥P—ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论： ①二面角B—PA—C大小的取值范围是（
oo?3，π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为
?2；
③过点M与异面直线PA和BC都成④若二面角B—PA—C大小为确的序号是．
?4的直线有3条；
2??，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正36解：(1) 经过点P作平面?的法向量n，则问题转化为 “已知直线a,n所成角为30?或
150?，经过点P作直线l，使直线l与a,n所成角均为45?，则这样的直线l有几条？”由
例1容易得到这样的直线l有两条.
(2) 经过点P作平面?的法向量m，平面?的法向量n，则问题转化为 “已知直线m,n所成角为60?或120?，经过点P作直线l，使直线l与m,n所成角均为30?，则这样的直线l有几条？”由例1容易得到这样的直线l有一条.
(3)仿照（1）（2）可以得到答案① ② ④
二.高考中有较大部分题都可以转化为以正方体为背景的问题，为此新编以正方体为背景的系列题：相同条件为“正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1”. 1. 正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，E,F是BD上的动点，且EF?（1）当E在BD中点时，F恰在B点，求二面角B1?EF?C1大小； （2）当EF在BD上运动时，该二面角是否发生变化？
解：（1）取B1D1中点O,易知C1O?面EFB1,设二面角B1?EF?C1大小为?.
1BD. 2?cos??S?EFO66?，?二面角B1?EF?C1大小为arccos
S?EFC133S?EFO6?，?二面角B1?EF?C1的大小不变.
S?EFC13（2）由（1）中求二面角的方法可知，无论EF在BD上的什么位置，
?cos??2. 正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，P为A1B1的四等分点， Q为D1C1中点，O为平面AA1B1B的中心. （1）求证：OC与PQ共面；
（2）求:平面OPQC与平面AA1B1B的夹角. （1）证明：取A1B1中点H，连结BH,HQ.
易证BH//CQ,又OP为?A1HB中位线，?OP//BH,OP//CQ
?OC与PQ共面.
（2） 连结OQ,过O作OM?PQ,连结MH
?OH?面PHQ,?OH?PQ又OM?PQ,?PQ?面OMH,?PQ?MH
?OMH为面OPQC与面AA1B1B的夹角.
111717,HQ?1,OH?,MH?,?tan?OMH?.42172
17??OMH?arctan.2PH?三.高考中有一部分题都是以三棱柱为背景的问题，为此新编以三棱柱为背景的系列题. 例3．斜三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰三角形，AB=AC，上底面的顶点A1在下地面的射影是?ABC的外心，BC?a,?A1AB?的侧面积为23a
（1） 证明：侧面AA1B1B和AA1C1C为菱形，B1BCC1是矩形； （2） 求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小； （3） 求棱柱的体积
（1）证明：?A1O?面ABC,?A1O?BC, 又??ABC的外心为O,AB=AC,?AO?BC
2?3,棱柱
?BC?AA1,BC?BB1,?四边形B1BCC1是矩形.
?OA?OB,?Rt?A1OA?Rt?A1OB,?AA1?A1B,又?A1AB?60?,??A1AB为正三角形.
?四边形AA1B1B为菱形，同理,可证四边形AA1C1C为菱形.
（2）AB?AC?x,S侧?2xsin60?ax?23a,即(3x?2a)(x?2?23a)?0,
?x?23a 3过B作BD?AA1，则D为AA1中点，?CD?AA1
又?BC?AA1,AA1//CC1//BB1,??BCD的三内角即为所求
?AD?3a,BD?a?CD?BC,??BCD为正三角形，?三个二面角均为60? 3