二次函数压轴题分类精选---等边三角形

1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PQ⊥x轴,垂足为点Q,△PCQ为等边三角形

(1)求该抛物线的解析式; (2)求点P的坐标; (3)求证:CE=EF;

(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与△CPE全等?若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.[注:3+2

=(

+1)2].

【分析】(1)根据抛物线的顶点是(2,1),因而设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)

2

+1,把A的坐标代入即可求得函数的解析式;

(2)根据△PCQ为等边三角形,则△CGQ中,∠CQD=30°,CG的长度可以求得,利用直角三角形的性质,即可求得CQ,即等边△CQP的边长,则P的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得P的坐标;

(3)解方程组即可求得E的坐标,则EF的长等于E的纵坐标,OE的长度,利用勾股定理可以求得,同理,OC的长度可以求得,则CE的长度即可求解;

(4)可以利用反证法,假设x轴上存在一点,使△CQM≌△CPE,可以证得EM=EF,即M与F重合,与点E为直线y=x上的点,∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾,故M不存在.

【解答】解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2+1,将点A(0,2)代入,得a(0﹣2)2+1=2,

解这个方程,得a=,

∴抛物线的表达式为y=(x﹣2)2+1=x2﹣x+2; (2)将x=2代入y=x,得y=2 ∴点C的坐标为(2,2)即CG=2, ∵△PCQ为等边三角形 ∴∠CQP=60°,CQ=PQ, ∵PQ⊥x轴, ∴∠CQG=30°, ∴CQ=4,GQ=2∴OQ=2+2

,PQ=4,

将y=4代入y=(x﹣2)2+1,得4=(x﹣2)2+1 解这个方程,得x1=2+2∴点P的坐标为(2+2

=OQ,x2=2﹣2,4);

<0(不合题意,舍去).

(3)把y=x代入y=x2﹣x+2,得x=x2﹣x+2 解这个方程,得x1=4+2∴y=4+2

=EF

,4+2, ,

,x2=4﹣2

<2(不合题意,舍去)

∴点E的坐标为(4+2∴OE=又∵OC=

∴CE=OE﹣OC=4+2∴CE=EF; (4)不存在.

=4+4=2,

如图,假设x轴上存在一点,使△CQM≌△CPE,则CM=CE,∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°, ∴∠MCE=60° 又∵CE=EF, ∴EM=EF,

又∵点E为直线y=x上的点, ∴∠CEF=45°,

∴点M与点F不重合.

∵EF⊥x轴,这与“垂线段最短”矛盾, ∴原假设错误,满足条件的点M不存在.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,以及等边三角形的性质,解直角三角形,反证法,正确求得E的坐标是关键.

2.二次函数图象的顶点在原点O,且经过点A(1,);点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H. (1)求二次函数的解析式;

(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:点M到∠OFP两边距离相等;

(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.

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