习 题
1. 解具有固定端的弦0≤x≤l的自由振动问题，如果弦的点的初始速度为零，而初始位移u(x,0)??(x)： (1) 正弦曲线，即?(x)?Asin(2) 对称轴在直线x?n?x，n为整数； l1ll上的抛物线，而顶点是点M(,h)，即22l1?(x)?h?(x?)2，这里h?l2；
24l(3) 折线OAB，其中O(0,0),A(c,h),B(l,0),0?c?l，讨论c?的
2情况.
2. 解具有固定端的弦0≤x≤l的自由振动问题，如果弦的初始状态处于静止
(?(x)?0)，而初始速度?(x)为
(1) ?(x)?C?const,(2) ?(x)??x?[0,l]；
?v0,x?[?,?]， 其中0≤???≤l；
?0,x?[?,?]?(x?x0)??Acos,x?[x0??,x0??](3) ?(x)??， 2??0,x?[x0??,x0??]?其中 0≤x0???x0??≤l.
3. 解均匀杆的纵振动（自由振动）问题，如果u(x,0)??(x)，ut(x,0)??(x)，而端点：
(1)杆的一端x?0是刚性固定，而另一端x?l是自由的； (2) 杆的两端是自由的；
(3) 杆的一端x?0是自由的，而另一端x?l为弹性固定.
4. 解杆的自由纵振动，如果杆的一端x?0是刚性固定的，而力P施于另一端
- 1 -
x?l，在时刻t?0时力P停止作用，即解定解问题：
??utt?a2uxx? ?u(0,t)?0,uxx?l?0??u(x,0)?x,ut(x,0)?0?E?? 这里?为杆的横截面积，E为杨氏模量.
5. 求解可变电流流过长度为l的导线中的电流强度i(x,t)，如果没有漏电，且可以忽略电阻，假定在导线中（当t?0时）初始电流等于零，而初始电压为E0sin?x2l，导线的左端(x?0)是绝缘的，而右端(x?l)是接地的.
提示：问题归结为混合问题：
??LCitt?ixx? ?ixx?0?0,ix?l?0
?E??x??0cos?it?0?0,itt?02lL2l?6. 解沿边缘固定的矩形薄膜(0?x?a,0?y?b)的自由振动问题，如果
t?0ut?Asin7. 解混合问题
?xasin?yb，ut?0.
?u?a2(u?u),(0?x??,0?y??)xxyy?tt? ?ux?0?ux???uy?0?u ?0y???u?3sinxsin2y,ut?5sin3xsin4y?t?0?t?08. 求解沿边缘固定的半径为a的均匀圆薄膜的自由振动问题：
(1) 解混合问题
- 2 -
1?2u?c(u?ur)rr?ttr??0,ur?0????u ?r?a， 这里?k是方程J0(?)?0的正根.
?rk?u?AJ()0t?0?R??utt?0?0(2) 解混合问题
1?2u?c(u?ur)rr?ttr? ?ur?a?0,u ???r?0?u?f(r),utt?0?g(r)?t?0?(3) 解混合问题
?12u?c(u?ur)?ttrrr???? ?ur?a?0,u， A为常数. r?0?r2?ut?0?A(1?2),utt?0?0R?提示：
xx323?J(?)d??xJ(x)， ?J(?)d??2xJ(x)?(x?4x)J1(x). 010??000以上各小题中的c是常数. 9. 解下列混合问题：
21?u?u?ux,(0?x?1,t?0)xx?ttx? ?ux?0有界，ux?1?g(t)
?u??(x),utt?0??(x)?t?0?- 3 -
(1) 若g(t)?sin2t,?(x)??1?0?,?(x)?0；
2?J0(2)??(x)?J0(2x),?(x)?0； J0(2)1?J(2x)?(2) 若g(t)?cos2t,(3) 若g(t)?t?1,?(x)?J0(?1x)?1,?(x)?1，其中?1是方程
J0(?)?0的正根.
10. 设长度为l的重均匀绳索，在端点x?l处悬挂，使绳索无初速离开平衡位
置，假定介质无阻力，在重力作用下，绳索的振动问题就归结为解混合问题：
?utt?a2(xux)x,(0?x?l,t?0)? ?ux?l?0,ux?0有界?u(x,0)??(x),u(x,0)?0t? 这里a?
g，g为重力加速度.
11. 已知长度为l，侧面是绝热的均匀细杆，求杆中的温度分布u(x,t). 若(1) 杆端x?0，x?l保持为零度。而初始温度u(x,0)??(x)，其
中设 ①?(x)?A（常数），②?(x)?Ax(l?x)，A为常数； (2) 杆端x?0保持零度，而在x?l端与周围为零度的介质发生热
交换，杆的初始温度u(x,0)??(x)；
(3) 在杆的两端x?0与x?l都有与周围为零度的介质热交换，而杆的初始温度为u(x,0)??(x)；提示：其边界条件为：
(ux?hu)x?0?0,(ux?hu)x?l?0.
- 4 -
(4) 杆端（x?0，x?l）是绝热的，而初始条件为u(x,0)?u0（常数）；
(5) 杆端是绝热的，而初始温度分布为
l?u?const,0?x??02 u(x,0)??l?0,?x?l2? 讨论当t???时u(x,t)的状态.
(6) 杆端是绝热的，而初始温度分布为
l?2u0x,0?x??2， u为常数， u(x,0)??l02u0l?(l?x),?x?l2?l求limu(x,t).
t???12. 设球心在坐标原点半径为a的均匀球体，求球内的温度u(r,t).
若(1) 球的外侧球面保持为零度，即u(r,t)r?a?0，而初始温度仅与到球
心的距离r有关，即ut?0??(r)；
(2) 在球面上与零度的介质发生按牛顿定律的对流热交换，而初始温度
ut?0??(r)；
提示：半径为a，球心在坐标原点的均匀球体，当球的任一点的温度仅与
该点离球心的距离r有关的情况，热分布问题归结为热传导方程
2ut?c2(urr?ur).
r13. 有半径为1的球体，其上半球面的温度常保持为u0(?0)，其下半球面的
温度常保持为0C，试求球内的稳定温度分布u(r,?).
- 5 -
0