第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
, [学生用书P64])
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
sin α(2)商数关系：tan α＝．
cos α2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 ππα＋2kπ角 π＋α －α π－α －α ＋α 22(k∈Z) 正弦 sin α －sin_α －sin α sin α cos_α cos α 余弦 cos α －cos α cos_α －cos α sin α －sin_α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 函数名不变 口诀 函数名改变符号看象限 符号看象限 kπ简记口诀：把角统一表示为±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．
21．辨明三个易误点
(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义
αsin
2α
的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin23α＋cos23α＝1，＝tan .
2α
cos
2
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法
sin α
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
cos α
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
222
(3)巧用“1”的变换：1＝sinθ＋cosθ＝cosθ(1＋tan2θ)
π
＝tan＝….
4
23
1.教材习题改编 tan(－π)的值为( )
3
A．3 B．－3
33C． D．－
33
ππ23
A [解析] tan (－π)＝tan (－8π＋)＝tan ＝3.
333
ππ3
2．已知sin?＋α?＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)等于( )
2??2?5?
33A． B．－
5544C． D．－ 55
?π?3?π? D [解析] 因为sin?＋α?＝，α∈?0，?，
?2?5?2?34
所以cos α＝，所以sin α＝，
55
4
所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.
5
3sin α－2cos α
3.教材习题改编 已知tan α＝2，则的值为( )
3sin α＋2cos α
A．1 B．－1
1
C．2 D．
2
D [解析] 由tan α＝2得sin α＝2cos α， 6cos α－2cos α4cos α1
所以原式＝＝＝.
6cos α＋2cos α8cos α2
4.教材习题改编 化简(1＋tan2α)cos2α的结果为________．
sin2α
[解析] 原式＝(1＋2)cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
cosα
[答案] 1
1
5.教材习题改编 若sin α－cos α＝，则sin αcos α＝________．
3
111
[解析] 由sin α－cos α＝得(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，所以2sin α39984
cos α＝，即sin αcos α＝.
99
4
[答案]
9
同角三角函数基本关系式(高频考点)[学生用书P64]
同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．在高考中常以选择题、填空题的形式出现．
高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．
[典例引领]
3
(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
4
64
A．
25C．1
48B．
2516D．
25
11＋2tanα
(2)(2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan2α＋sin α ＝________．
3【解析】 (1)法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得
cos α4
sin α??4cos α＝?5
3sin α＝，
5
或
?sin α＝－5，
?4
?cos α＝－5，24
则sin 2α＝2sin αcos α＝，
25
164864
则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.
252525
cos2α＋4sin αcos α1＋4tan α1＋364
法二：cosα＋2sin 2α＝＝＝＝. 222925cosα＋sinα1＋tanα1＋
16
2
3
sin2α＋cos2α
(2)原式＝cos α ＋sin α
cos2α
11
＝cos α·＋sin α·，
|cos α||sin α|
sin2α＋cos2α
sin2α
因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
11
所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，
|cos α||sin α|
即原式等于0.
【答案】 (1)A (2)0
求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos t2－1
α之间可建立联系．若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±2－t2(注
2意根据α的范围选取正负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用．
[题点通关]
角度一 知弦求弦
1
1．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. 5
(1)求sin x－cos x的值；
sin 2x＋2sin2x(2)求的值．
1－tan x
1
[解] (1)由sin x＋cos x＝，
5