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【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练23 解析几何 理
(建议用时45分钟)
1
1．(2015·高考浙江卷)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)
4作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
(1)求点A，B的坐标； (2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
解：(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
y＝kx－t，??
由?12
y＝x??4
消去y，整理得x－4kx＋4kt＝0，
2
由于直线PA与抛物线相切Δ＝0，得k＝t. 因此，点A的坐标为(2t，t)．
设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)．由题意知：点B，O关于直线PD对称，故
2
y0x0??＝－＋1，
2t?2
??x0t－y0＝0，
2tx＝??1＋t，解得?2ty＝??1＋t，
0
22
0
2
?2t2，2t2?.
因此，点B的坐标为??
?1＋t1＋t?
2
(2)由(1)知|AP|＝t·1＋t， 直线PA的方程为tx－y－t＝0. 点B到直线PA的距离是d＝2
2
t2
1＋t2.
3
1t设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝|AP|·d＝.
22
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2．(2016·广东惠州调研)已知椭圆C过点M?1，
??6?
?，点F(－2，0)是椭圆的左焦点，点2?
P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一定点A. 解：(1)设椭圆C的方程为
x2y2
＋＝1(a>b>0)． a2b2
6??1＋4＝1，
由已知，得?ab??a－b＝2，
2
2
2
2
2
2
1
??a＝4，解得?2
?b＝2.?
2
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
42(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由椭圆C的标准方程为＋＝1，
42可知|PF|＝ 同理|QF|＝2＋
x2y2
x2y2
x1＋2
2
x2， 2＋2
2
＋y＝ (x＋2)＋2－2＝2＋22x，
2
1
1
2x1
|MF|＝ ＋?
2?6?2
?＝2＋2. ?2?
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2?2＋
?x1＋2y1＝4，?
①当x1≠x2时，由?22
??x2＋2y2＝4，
222
x21－x2＋2(y1－y2)＝0，
2
2
?
?22?
?＝4＋2(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2. 2?得
∴
y1－y21x1＋x2
＝－·. x1－x22y1＋y2
y1－y21
＝－，得线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝x1－x22n设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝?1?2n(x－1)，即(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点A?，0?.
?2?
②当x1＝x2时，P?1，－
??6??6?6??－6??
?，Q?1，?或P?1，?，Q?1，?. 2??2?2??2??
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?1?线段PQ的垂直平分线是x轴，也过点A?，0?. ?2??1?综上，线段PQ的垂直平分线过定点A?，0?. ?2?
x2y22
3.如图，已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(2，2)，四边形ABCD的顶
ab2b2
点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC·kBD＝－2. a
→→
(1)求OA·OB的取值范围；
(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．
??解：(1)?42
＋＝1，ab??a＝b＋c，
22
22
2
c2
＝，a2
2
222
??a＝8，得?2
?b＝4，?
2
∴＋＝1.
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x2y2
当直线AB的斜率存在时，设lAB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??y＝kx＋m由?22
??x＋2y＝8
?(1＋2k)x＋4kmx＋2m－8＝0，
2
－4km2m－8∴x1＋x2＝2，x1x2＝2. 1＋2k1＋2k2m－8－4kmm－8k2
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k·2＋km·2＋m＝2.
1＋2k1＋2k1＋2k2
2
2
b2y1y21
∵kOA·kOB＝－2?·＝－，
ax1x22
2
m2－8k212m－822∴2＝－·2?m＝4k＋2. 1＋2k21＋2k→→2222
2m－8m－8k4k－24
OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＝2－2， 2＋2＝2
1＋2k1＋2k2k＋12k＋1→→→→
∴－2≤OA·OB<2，当k＝0时，OA·OB＝－2，
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