第3讲 数列的综合问题
「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.
核心知识回顾
数列综合应用主要体现在以下两点：
(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．
(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．
热点考向探究
考向1 数列与函数的综合问题
例1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)，且不等式|f(x)|≤2019|2－x|对任意的x∈[0,10]都成立，数列{an}是以7＋a为首项，公差为1的等差数列(n∈N)．
(1)当x∈[0,10]时，写出方程2－x＝0的解，并写出数列{an}的通项公式(不必证明)；
x2
*
2
x2
?1?**
(2)若bn＝an·??an(n∈N)，数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N，都有Sn ?3? 求m的取值范围． 解 (1)因为x∈[0,10]时，易知方程2－x＝0的解为x＝2，x＝4， ??|f?2?|≤0， 由不等式|f(x)|≤2019|2－x|对任意的x∈[0,10]都成立，可得? ?|f?4?|≤0，? x2 x2 ??f?2?＝4＋2a＋b＝0， 即? ?f?4?＝16＋4a＋b＝0，? 2 ??a＝－6， 解得? ?b＝8，? 所以f(x)＝x－6x＋8，又数列{an}是以7＋a＝1为首项，公差为1的等差数列，所以an＝n. ?1??1?n(2)由(1)知bn＝an·??an＝n·??， ?3??3? 1?1?2?1?3?1?n所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1·＋2·??＋3·??＋…＋n·??，① 3?3??3??3? 1?1??1??1??1?Sn＝1·??2＋2·??3＋3·??4＋…＋n·??n＋1，② 3?3??3??3??3? 11?1－n???1?n1?n＋13?3?21?1?2?1?3???1?n＋11?1?①－②得，Sn＝＋??＋??＋…＋??－n·??＝－n·??＝?1－n?－ 33?3??3?12?3??3??3??3? 1－ 3 n3 n＋1 ， 32n＋32n＋33 整理得，Sn＝－n，由n>0可得Sn<， 44·34·343 由Sn 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点 在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化． 1??n已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn,1)，b＝?2－1，?，满足条件a∥b. 2??(1)求数列{an}的通项公式； 1?1?x(2)设函数f(x)＝??，数列{bn}满足条件b1＝1，f(bn＋1)＝. f?－bn－1??2?①求数列{bn}的通项公式； ②设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 1nn＋1 解 (1)∵a∥b，∴Sn＝2－1，Sn＝2－2. 2 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2；当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式， ∴an＝2. 1?1?x(2)①∵f(x)＝??，f(bn＋1)＝， f?－1－bn??2?1?111?∴??bn＋1＝，∴＝. 2bn＋121＋bn?2??1?－1－bn?2??? ∴bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1.又∵b1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴bn＝n. nnbnanbnn12n－1n②cn＝＝n，Tn＝1＋2＋…＋n－1＋n， an22222 1112n－1n两边同乘得，Tn＝2＋3＋…＋n＋n＋1， 22222211111n上述两式相减得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n＋1 22222211? 1－n???2?2?nn＋2＝－n＋1＝1－n＋1， 1221－2∴Tn＝2－ n＋2 2 n(n∈N)． * 考向2 数列与不等式的综合问题 例2 (2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0且2Sn＝an＋an(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若an>0，令bn＝最小值． 解 (1)当n＝1时，2S1＝a1＋a1，又a1>0，则a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 2 2 * 4 ，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn an?an＋2? a2a2n＋ann－1＋an－1 2－ 2 ， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0?an＝－an－1或an＝an－1＋1， ∴an＝(－1) n－1 或an＝n(n≥2)， n－1 又a1＝1满足上式，∴an＝(－1)(2)由an>0，∴an＝n，bn＝ 1 11 或an＝n，n∈N. * 1?4?1 ＝2?－?， n?n＋2??nn＋2?11 1 1 1 1 1 ??????????＝2?1＋－?＝3－－Tn＝2??1－?＋?－?＋?－?＋…＋?－??????3??24??35??nn＋2???2n＋1n＋2? 4n＋6 <3，若Tn ?n＋1??n＋2? (1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩．