2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题一函数与导数第2讲导数及其应用练习文

第2讲 导数及其应用

「考情研析」1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点. 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.

核心知识回顾

1.导数的几何意义

01x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的(1)函数y=f(x)在□02f′(x0). 斜率,即k=□03y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为□2.函数的单调性

01f′(x)>0(f′(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间(1)在某个区间(a,b)内,如果□02单调递增(单调递减). 内□(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤: 03f(x)的定义域; ①确定函数□04导数f′(x); ②求□05解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; ③在函数f(x)的定义域内□06单调区间. ④根据③的结果确定函数f(x)的□3.导数与极值

01f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“□02左正右负”?f(x)在x0处函数f(x)在x0处的导数□03极大值;04f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“□05左负右正”?f(x)取得□函数f(x)在x0处的导数□06极小值. 在x0处取得□4.求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤 01极值; (1)求函数y=f(x)在[a,b]内的□02各极值与□03端点处的函数值□04f(a),f(b)的大小,最大的一个(2)比较函数y=f(x)的□是最大值,最小的一个是最小值.

热点考向探究

考向1 导数的几何意义

?x+2x,x≤0,?

例1 (1)(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)=?2

??-x+ax,x>0

2

为奇函

数,则f(x)在x=2处的切线斜率等于( )

A.6 C.-6 答案 B

B.-2 D.-8

解析 设x>0,则-x<0,f(-x)=x-2x,又f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-x+2x,f′(x)=-2x+2,则f′(2)=-2,故选B.

1

(2)设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为( )

2A.ln 2-1 C.2ln 2-1 答案 A

B.ln 2-2 D.2ln 2-2

22

11

解析 设切点坐标为(x0,ln x0),则=,即x0=2,∴切点坐标为(2,ln 2),又切点

x021

在直线y=x+b上,∴ln 2=1+b,即b=ln 2-1.

2

134

(3)已知曲线y=x+,则曲线在点P(2,4)处的切线方程为__________;曲线过点P(2,4)

33的切线方程为__________.

答案 4x-y-4=0 4x-y-4=0或x-y+2=0 1342

解析 ①∵P(2,4)在曲线y=x+上,y′=x,

33∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x=2=4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.

134

②设曲线y=x+与过点P(2,4)的切线相切于

33134??2

点A?x0,x0+?,则切线的斜率为y′|x=x0=x0.

33??

?134?2

∴切线方程为y-?x0+?=x0(x-x0),

3??3

2342

即y=x0·x-x0+. 33∵点P(2,4)在切线上,

234232

∴4=2x0-x0+,即x0-3x0+4=0,

33∴x0+x0-4x0+4=0,

∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.

2

23

2

2

函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率,这是导数的几何意义,所以与导数有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数值等.注意切点既在原函数的图象上又在切线上这一条件的应用.

1.(2019·南阳市六校高二下学期第一次联考)曲线y=e上的点到直线y=x-2的最短距离是( )

A.2 C.32

2

B.2 D.1

x答案 C

解析 设与y=x-2平行的直线与y=e相切,则切线斜率k=1.∵y=e,∴y′=e,由y′=e=1得x=0,当x=0时,y=e=1,即切点坐标为(0,1),则点(0,1)到直线y=x-2的距离是曲线y=e上的点到直线y=x-2的最短距离,∵点(0,1)到直线的距离为d=|0-1-2|1+-C.

2.若点P是函数f(x)=x-ln x上任意一点,则P到直线x-y-2=0的最小距离为( ) A.2

2

B.2 D.3

2

2

xxxx0

x=2

3232x,∴曲线y=e上的点到直线l:y=x-2的距离的最小值为,故选22

1

C. 2答案 B

12

解析 由f′(x)=2x-=1得x=1(负值舍去),故曲线f(x)=x-ln x上切线斜率为

x|1-1-2|

1的切点是(1,1),所以点P到直线x-y-2=0的最小距离为=2,故选B.

2

π2

3.(2019·山西大学附属中学高二下学期模块诊断)函数f(x)=ax+sinx的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,则b的值为( )

π

A.1+ 44

C.1+ π答案 B

ππ?π?2

解析 ∵f(x)=ax+sinx,∴f′(x)=2ax+cosx.由题意,得f′??=2a×+cos

22?2?

π

B.1-

44

D.1-

π

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