线面角与二面角的向量解法
广州市第65中学 朱星如 510450
几何中的距离和角是初等几何学的核心问题，是新旧教材的教学重点，也是高考常考点。近几年来，各种数学杂志发表了不少用向量解几何题的文章，笔者觉得有些方法在实际解题中，操作起来并不方便，在教学中效果不佳。如线面角论及得较少；而用法向量求二面角的平面角时，两法向量的夹角与二面角的平面角是相等或互补，但不易确定取哪种关系。本文就这两个问题的解答方法作一介绍，但愿对同行的教学有所裨益。
先推导一个线面角公式。设PQ是平面a的一条斜线段，P、Q均
不为斜足，线段PQ所在直线与平面?交于点Q?，直线PQ与平 面?所成的角为q，见图1。P?为直线PQ上的一点，作P?Q^a
QH于H，连HQ?，则?Pⅱq+?HPⅱQQ90，?HPⅱoP?图1
q。设平面a的法向量为n，则有： rruuun,PQ或p-rruuun,PQ，
rsinq=cos?HPⅱQuuurr
PQgnuuurrcosn,PQ=uuurr，从而
PQ×n
?Q?uuurrPQgnq=arcsinuuurrL(1)。
PQ×n注：当Q点为斜足或点P、Q在平面?的异侧时本公式也适用。
我们改编一个91年全国的高考题例说公式（1）的应用。
例1：已知正方形ABCD的边长为4,PA?平面ABCD，PA=2,E、F分别为BC、 CD的中点。求直线EB、FB分别与平面PEF所成的角（见图2）。
解：以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AP所在的 直线为z轴，建立空间右手直角坐标系。则有 B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，2）。用中点坐标公式
ruuuruuuuuur可得E（2，4，0），F（4，2，0）。， EF=,2,)(0,2-(,E2P)2,4=--EB=(-2,0,0)，uuurrFB=(-4,2,0)。设平面PEF的法向量为n=(x,y,z)，则有
rrruuuruuuEF=0,ngEP=0，由此得：2x-2y=0,-2x-4y+2z=0，可解出： ngry=x,z=3x，取x=1得n=(1,1,3)，
图2
DA(O)B
记直线BE、BF与平面PEF所成的角分别为?1、?2，则由公式（1）得
rruuungEBsinq1=ruuur=nEB-21111=，q1=arcsin， 1111g211rruuungFB-4+25555sinq2=ruuu=,q2=arcsin。 r=555520g11nFB处理线面角问题用公式（1），可回避找斜线在平面内的射影之苦，从而提高学生的学习效率，真正为学生减负。
再来看二面角的平面角一种程序式的求法（见图3）。在二面角??l??的两个半面内各取一个与二面角的棱l垂直的向量v1,v2，它们的指向分别与二面角的两个半平面的伸展方向相同，则二面角??l??的平面角
?图3 lOv2B??AOB?v1,v2?arccosv1v2v1v2v1A(2)。
下面再以04年辽宁省高考题例说公式（2）的应用。
例2：已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，?DAB60o，PD^平面ABCD，PD=AD，E为AB的中点。（1）略；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值（见图4）。 z解：在平面ABCD内作DE垂直BC，垂足为E，可令PD=AD=2，则有 Po图4 DE=2sin60=3，EC=1。以DA所在直线为x轴，DE所在直线为y轴，DP 所在直线为z轴，建立右手直角坐标系，则有A（2，0，0），B（1，3，0），C F)2,0,0(（-1，3,0），P。
DAxHKBEyC在平面ABF内作FK^AB于K，在平面ABP内作PH^AB于H，则有
uuuruuurHP,KF就是所求二面角的平面角的大小（实质上H、K两点重合，但对下面的
uuur计算无影响，这正是这种解法的优越性）。AB=(-1,3,0)，
uuuruuuruuuruuuruuurHP=AP-AH=AP-xAB=(-2,0,2)-x(-1,3,0)=(x-2,-ruuuruuu3x,2)，由HPgAB=0
得2-x-3x=0，即x=uuur11，从而HP=(-3,3,4)。 22ruuuruuuruuuruuuruuuKF=AF-AK=AF-yAB=(-2,0,1)-y(-1,3,0)=(y-2,-ruuuruuu1，即3y,1)，同理，由KFgAB=0，得y=2uuur1KF=(-3-,2uuuruuur3),，2cosHP,KF=7147，所以二面角的平面角的余弦值为。 =44428rrvv公式（2）中的1、2的求法有一个程序化的方法：
如图5，在二面角??l??的棱l上找两已知点C、D（例2 中是A、B两点），并连成一个向量，再分别在两个半平面内
各找一已知点P、Q（在例2中，在半平面PAB内是点是点P，在半平面FAB内是点F），并分别与二面角的棱上的一点（C 点或D点）连成一向量，在半平面a内，
ruuuruuuruuuruuuruuurv1=HP=CP-CH=CP-xCD，由CDv1?0可求得x，
r从而求得v1。在半平面b内，用同样的方法有
?Q图5 v2HKlD?v1PCuuuruuuruuuruuuruuuruuurrrrv2=KQ=CQ-CK=CQ-yCD，由CDgv2=0可求得y，从而求得v2。这样就求到了公式（2）中的两个向量。
再看04全国高考题：如图，已知四棱锥P-ABCD，PB^AD，则面PAD为边 长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角
为120o。(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。 解：（1）取AD的中点E，连PE、BE，AD?PE,AD?PB
?AD?平面PBE。PB，PE是平面PEB内的两相交直线， BE?平面PBE，?AD?BE，从而?DAB?60，
且?PEB是二南角P?AD?B的平面角，
?PEB?120。AD?平面PEB，?平面PEB?平面
ABCD，作AH?BE交BE的延长线于H，因为PH?平面PBE，平面PBE平面ABCD=BE，所以PH?平面ABCD，
tPAE且?PEB?60，在R中，PE?2sin60?3，在RtPHE中，PH?PEsin60?3。 2（2）以EB为x轴，以ED为y轴，过点E平行于PH的直线为z轴，建立右手直角坐标系。则有A(0,?1,0),B(3,0,0)，
?33?C(3,2,0)，D(0,1,0)，P??2,0,2??。
??在等腰PAB中取底边PB的中点M，有AM?PB,且MA? 作CK?PB于K，KC?BC?BK?BC?xBP?
由KCBP?0得x? ，从而得KC?
二面角A?PB?C的平面角?MA,KC??，
cos??MAKCMAKC?
笔者考证了04年全国各省的14个高考立体几何综合题，有12 个题用这种方法解答很方便，这说明在高三复习时很有必要介绍这种方法。本人在高二年级就引入这一方法，实践证明绝大部分同学都能在探究和比较中较快地掌握它，同时也复习了高一《平面向量》。
参考文献：
1、数学教学 2005年第3期：利用向量解决点到平面的距离问题 杨丽婷
2、数学通报2005 年第3期 ：例谈利用向量求解2004年高考立几综合题 黄爱民等