第十一讲 解析几何范围最值问题
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值
【例1】 抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线的方程；
(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求△ABP面积的最大值．
[满分解答] (1)根据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
?y＝kx－2，?由?2得x2＋2pkx－4p＝0 ??x＝－2py，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以?
?－2pk＝－4，?
2
??－2pk－4＝－12，
??p＝1，解得?故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线方程为x2＝－2y.
?k＝2.?
(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大． 11对y＝－x2求导，得y′＝－x，所以－x0＝2，即x0＝－2，y0＝－x2＝－2，即P(－2，－2)．
220此时点P到直线l的距离d＝
|2·?－2?－?－2?－2|44 5＝＝. 5522＋?－1?2??y＝2x－2，
由?2得x2＋4x－4＝0，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－4， ?x＝－2y，?
|AB|＝
1＋k2· ?x1＋x2?2－4x1x2＝
1＋22·?－4?2－4·?－4?＝4 10.
14 5于是，△ABP面积的最大值为×4 10×＝8 2.
25二、函数法求最值
x2y2
【示例】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝
ab点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
c
(1)由e＝＝
a
2
，且椭圆C上的点到3
a2－b2＝ a22x2y2
，得a＝3b，椭圆C：2＋2＝1，即x2＋3y2＝3b2， 33bb
1
设P(x，y)为C上任意一点，则|PQ|＝ －b≤y≤b.
x2＋?y－2?2＝ －2?y＋1?2＋3b2＋6，
若b＜1，则－b＞－1，当y＝－b时，|PQ|max＝ 若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，|PQ|max＝ x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1.
3
－2?－b＋1?2＋3b2＋6＝3，又b＞0，得b＝1(舍去)， －2?－1＋1?2＋3b2＋6＝3，得b＝1.
m22m22
(2)法一 假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n＝1，即n＝1－，－3≤m≤3.由题意可得S
33
△AOB
111
＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤， 222
当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形， 此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为
2
， 2
12m22321?6，2?，?6，－2?，222
则＝，得m＋n＝2，又＋n＝1，解得m＝，n＝，即存点M的坐标为
3222??22??2m2＋n22
?－6，2?，?－6，－2?满足题意，且△AOB的最大面积为1.(12分)
22??22??2
m22m22
法二 假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n＝1，即n＝1－，－3≤m≤3，又设A(x1，y1)、
33
??mx＋ny＝1m222222
B(x2，y2)，由?22，消去y得(m＋n)x－2mx＋1－n＝0，①把n＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx
3?x＋y＝1?
＋m2＝0，
则Δ＝8m2(3－m2)≥0，
?
∴?m
xx＝，?3＋2m
x1＋x2＝
12
2
26m
，3＋2m2
11
②而S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，
22
1
当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，
2
1－mx11－mx23－3m?x1＋x2?＋3m2x1x2
此时·＝x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝·＝，
nn3－m23－3m?x1＋x2?＋3m2x1x2∴x1x2＋＝0，即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0， 23－m3
把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，解得m2＝或m2＝3(舍去)，
26∴m＝±，n＝±
21
使得S△AOB取得最大值.
2
老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题
2
m2262?62??62?62?1－＝±，∴M点的坐标为?，?，，－，?，，，－－，－322??22??22??22??2
的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．
三.定义法求最值
在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。
例1、如图，M是以A、B为焦点的双曲线x?y?2右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（ ）
A、?26?2,?? B、?26?22,??
22????C、?26?22,26?22 D、?26?2,??
????
分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。解法如下：连结MA，由双曲线的第一定义可得：MB?MC?MA?2a?MC
?MA?MC?22?AC?22?26?22 当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到
此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究：
（1）如果M点在左支上，则点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？
x2y2?1?（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆??1上任一点，若点M到点C?,1?与点B的距离之差为S，则S
43?2?的最大值是多少？
x2y2?1?（3）如果M是以A、B为焦点的椭圆??1上任一点，若点M到点C?,1?与点B的距离之和为S，则S
43?2?的取值范围是多少？
3
分析：连结MA，由椭圆的第一定义可得：
MB?MC?2a?MA?MC?2a??MA?MC?，当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如
上图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。
练习
y2x21、如图，椭圆C的方程为2?2?1 (a?b?0)，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交
ab椭圆于B点，点P（1，0）, 且BP∥y轴，△APB的面积为
9. 2（1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程.
分析：同样, 此题若采用函数观点, 问题（2）将变得复杂化！若能利用双曲线的第一定义，则解答就容解易得多了。
简解：（1） S?APB?19AP?PB?,又∠PAB＝45°， 22y AP＝PB，故AP＝BP＝3.
∵P（1,0），A（－2,0），B（1,－3）
?b?2?∴ b=2，将B（1，－3）代入椭圆得：?1 9?2?1?2?baP A O B x y2x2得 a?12，所求椭圆方程为??1
1242（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则易知F1（0,－22）F2（0，22），
直线AB的方程为：x?y?2?0，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大， 只须｜｜MF1｜－｜MF2｜｜最大，设F1（0，－22）关于直线AB的对称点为
''－2），则直线F2F1与直线的交点为所求M， 因为F2F1的方程为：y?(3?22)x?22?0, F1'（22－2，
联立???y?(3?22)x?22?0 得M（1,?3）
??x?y?2?04
又2a'=｜｜MF1｜-｜MF2｜｜=｜｜MF1'｜－｜MF2｜｜?|F2F1'| ＝(22?2?0)?(?2?22)＝26，故amax?22'6,b'?2，
y2x2故所求双曲线方程为：??1
622、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线y2?16x的焦点P为
x2y2??1的焦点Q为顶点。 其一个焦点，以双曲线169(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点A(?1,0),B(1,0)，且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求AM?BM的取值范围。
x2y2??1的焦点Q为(5，0) 解：(1)抛物线y?16x的焦点P为(4，0)，双曲线169x2y2∴可设椭圆的标准方程为2?2?1，由已知有a>b>0，且a=5，c=4 ?b2?25?16?9，∴椭圆的标准方程
abx2y2??1 为
2593xy(2)设M(x0,y0)，线段CD方程为??1，即y??x?3(0?x?5)
5353点M是线段CD上，?y0??x0?3(0?x0?5)
5222?AM?(x0?1,y0)，BM?(x0?1,y0)，?AM?BM?x0?y0?1，
将y0??332?(?x0?3)2?1 x0?3(0?x0?5)代入得AM?BM?x055342183445191x0?x0?8?(x0?)2?
253434255191。 34?AM?BM??0?x0?5，?AM?BM的最大值为24，AM?BM的最小值为?AM?BM的取值范围是[2191,24]。 342223、一动圆与圆O1:(x?1)?y?1外切，与圆O2:(x?1)?y?9内切． (I)求动圆圆心M的轨迹L的方程．
(Ⅱ)设过圆心O1的直线l:x?my?1与轨迹L相交于A、B两点，请问?ABO2（O2为圆O2 的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若 不存在，请说明理由．
解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．
|MO1|?|MO2|?4 由题意，得|MO1|?R?1,|MO2|?3?R，?由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，
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