习题四
1. 复级数
?an?1?n与
?bn?1?n都发散,则级数
?(an?1?n?bn)和?anbn发散.这个命题是否成立?
n?1?为什么?
?11?11答.不一定．反例: ?an???i2,?bn????i2发散
??n?1n?1nnn?1n?1n???但
(a2n?bn)?1?i?n?n?1n2收敛 ???(an?bn)??2发散 n?1n?1n???anbn??[?(11n?1n?1n2?n4)]收敛.
2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
iπ?2n?1??(1)?1?inn?n (2)?(1?5i)n1n?12 (3) ?e n?1n??(4) ?inn?1lnn (5) ?cosinn?02n
?解 (1) ?1?i2n?1??n?1n?1?(?1)n?i??1(?1)nn?1n???in?1nn ??1?1?i2n?1因为n?1n发散,所以?n?1n发散
?1?5in?(2)??26nn?12?()发散 n?12又因为lim(1?5in??2)n?lim(15nn??2?2i)?0 ?n所以?(1?5i)n?12发散 n(3)
?n?1??ππcos?isin?e1e1ππnn??发散,又因为?????(cos?isin)收nnnnn?1nn?1nn?1n?1nπin??iπn?敛,所以不绝对收敛. (4)
?n?1?in1?? lnnn?1lnn11?因为 lnnn?1所以级数不绝对收敛.
(?1)k又因为当n=2k时, 级数化为?收敛
k?1ln2k?(?1)k当n=2k+1时, 级数化为?也收敛
k?1ln(2k?1)?所以原级数条件收敛
cosin?1en?e?n1?en1?1n??n???()??() (5) ?n222n?022n?02en?0n?02??en1n()收敛 ()其中? 发散,?2e2n?0n?0?所以原级数发散.
3.证明:若Re(an)?0,且
?an?1?n和
?an?1?2n收敛,则级数
?an?1?2n绝对收敛.
2222证明:设an?xn?iyn,an?(xn?iyn)?xn?yn?2xnyni
因为
?an?1??n和
??an?1n?2n收敛
?所以
?x,?y,?(xnn?1n?1n?1?n?yn),?xnyn收敛
2n?1又因为Re(an)?0,
xn?limxn?0 所以xn?0且limn??n??2当n充分大时, xn?xn
2所以
2?xn?1?2n收敛
22222an?xn?yn?2xn?(xn?yn) ??而
?2xn?1?2n收敛，
?(xn?12n2?yn)收敛
所以
?an?12n收敛，从而级数
?an?1?2n绝对收敛.
4.讨论级数
?(zn?0?n?1?zn)的敛散性
解 因为部分和sn??(zk?0nk?1?zk)?zn?1?1，所以，当z?1时,sn??1
当z?1时,sn?0，当z??1时,sn不存在.
i?当z?e而??0时（即z?1,z?1），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．
当z>1时,sn??.
故当z?1和z?1时, 5.幂级数
?(zn?0?n?1?zn)收敛.
?C(z?2)nn?0?n能否在z=0处收敛而在z=3处发散.
解： 设limn??11Cn?1??，则当z?2?时，级数收敛，z?2?时发散.
??Cn若在z=0处收敛,则
1??2
若在z=3处发散, 则
1??1
显然矛盾,所以幂级数?C(z?2)nn?0?n不能在z=0处收敛而在z=3处发散
6.下列说法是否正确?为什么?
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
7.若?Cnz的收敛半径为R,求?nn?0?Cnnz的收敛半径。 nbn?0?Cn?1Cn?1111bn?1lim?lim??解： 因为n?? Cnn??CbRbnnb所以 R??R?b
8.证明：若幂级数?aznn?0?n的 系数满足limn??nan??，则
(1)当0?????时, R?(2) 当??0时, R??? (3) 当????时, R?0
?
1证明：考虑正项级数
?aznn?0?n?a1z?a2z2?...?anzn?...
nnazn?limna?nz???z，若0?????，由正项级数的根值判别法知，由于limnnn??n??当??z?1时，即z?1?时，?anzn收敛。当??z?1时，即z?n?0?1?时，anzn不能
2nazn?1n趋于零,lim级数发散.故收敛半径R?n??1?.
当??0时, ??z?1,级数收敛且R???.
n若????,对?z?0,当充分大时,必有anz不能趋于零,级数发散.且R?0
2
9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。
?(z?i)npn(1)? (2)?n?zp n?0n n?0
?(3)
?(?i)n?0??n?1?2n?12n?1?z2n
inn(n?1)((4) ?)?(z?1)n?0n
解: (１)n??lim1(n?1)pnp1p1?lim()?lim(1?)?1pn??n?? nn?1n?1?R?1收敛圆周
z?i?1
(n?1)plim?1pn??n(2) R?1z?1
所以收敛圆周
n?1(3) 记 fn(z)?(?i)?2n?12n?1?z 2n2n?1由比值法,有
(2n?1)?2n?zfn?1(z)12lim?lim?z2n?12n?1n??f(z)n??2(2n?1)?2?zn要级数收敛,则
z?2 级数绝对收敛,收敛半径为
R?2
所以收敛圆周
z?2