复变函数与积分变换答案修订版,习题

习题四

1. 复级数

?an?1?n与

?bn?1?n都发散,则级数

?(an?1?n?bn)和?anbn发散.这个命题是否成立?

n?1?为什么?

?11?11答.不一定.反例: ?an???i2,?bn????i2发散

??n?1n?1nnn?1n?1n???但

(a2n?bn)?1?i?n?n?1n2收敛 ???(an?bn)??2发散 n?1n?1n???anbn??[?(11n?1n?1n2?n4)]收敛.

2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

iπ?2n?1??(1)?1?inn?n (2)?(1?5i)n1n?12 (3) ?e n?1n??(4) ?inn?1lnn (5) ?cosinn?02n

?解 (1) ?1?i2n?1??n?1n?1?(?1)n?i??1(?1)nn?1n???in?1nn ??1?1?i2n?1因为n?1n发散,所以?n?1n发散

?1?5in?(2)??26nn?12?()发散 n?12又因为lim(1?5in??2)n?lim(15nn??2?2i)?0 ?n所以?(1?5i)n?12发散 n(3)

?n?1??ππcos?isin?e1e1ππnn??发散,又因为?????(cos?isin)收nnnnn?1nn?1nn?1n?1nπin??iπn?敛,所以不绝对收敛. (4)

?n?1?in1?? lnnn?1lnn11?因为 lnnn?1所以级数不绝对收敛.

(?1)k又因为当n=2k时, 级数化为?收敛

k?1ln2k?(?1)k当n=2k+1时, 级数化为?也收敛

k?1ln(2k?1)?所以原级数条件收敛

cosin?1en?e?n1?en1?1n??n???()??() (5) ?n222n?022n?02en?0n?02??en1n()收敛 ()其中? 发散,?2e2n?0n?0?所以原级数发散.

3.证明:若Re(an)?0,且

?an?1?n和

?an?1?2n收敛,则级数

?an?1?2n绝对收敛.

2222证明:设an?xn?iyn,an?(xn?iyn)?xn?yn?2xnyni

因为

?an?1??n和

??an?1n?2n收敛

?所以

?x,?y,?(xnn?1n?1n?1?n?yn),?xnyn收敛

2n?1又因为Re(an)?0,

xn?limxn?0 所以xn?0且limn??n??2当n充分大时, xn?xn

2所以

2?xn?1?2n收敛

22222an?xn?yn?2xn?(xn?yn) ??而

?2xn?1?2n收敛,

?(xn?12n2?yn)收敛

所以

?an?12n收敛,从而级数

?an?1?2n绝对收敛.

4.讨论级数

?(zn?0?n?1?zn)的敛散性

解 因为部分和sn??(zk?0nk?1?zk)?zn?1?1,所以,当z?1时,sn??1

当z?1时,sn?0,当z??1时,sn不存在.

i?当z?e而??0时(即z?1,z?1),cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛.

当z>1时,sn??.

故当z?1和z?1时, 5.幂级数

?(zn?0?n?1?zn)收敛.

?C(z?2)nn?0?n能否在z=0处收敛而在z=3处发散.

解: 设limn??11Cn?1??,则当z?2?时,级数收敛,z?2?时发散.

??Cn若在z=0处收敛,则

1??2

若在z=3处发散, 则

1??1

显然矛盾,所以幂级数?C(z?2)nn?0?n不能在z=0处收敛而在z=3处发散

6.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

7.若?Cnz的收敛半径为R,求?nn?0?Cnnz的收敛半径。 nbn?0?Cn?1Cn?1111bn?1lim?lim??解: 因为n?? Cnn??CbRbnnb所以 R??R?b

8.证明:若幂级数?aznn?0?n的 系数满足limn??nan??,则

(1)当0?????时, R?(2) 当??0时, R??? (3) 当????时, R?0

?

1证明:考虑正项级数

?aznn?0?n?a1z?a2z2?...?anzn?...

nnazn?limna?nz???z,若0?????,由正项级数的根值判别法知,由于limnnn??n??当??z?1时,即z?1?时,?anzn收敛。当??z?1时,即z?n?0?1?时,anzn不能

2nazn?1n趋于零,lim级数发散.故收敛半径R?n??1?.

当??0时, ??z?1,级数收敛且R???.

n若????,对?z?0,当充分大时,必有anz不能趋于零,级数发散.且R?0

2

9.求下列级数的收敛半径,并写出收敛圆周。

?(z?i)npn(1)? (2)?n?zp n?0n n?0

?(3)

?(?i)n?0??n?1?2n?12n?1?z2n

inn(n?1)((4) ?)?(z?1)n?0n

解: (1)n??lim1(n?1)pnp1p1?lim()?lim(1?)?1pn??n?? nn?1n?1?R?1收敛圆周

z?i?1

(n?1)plim?1pn??n(2) R?1z?1

所以收敛圆周

n?1(3) 记 fn(z)?(?i)?2n?12n?1?z 2n2n?1由比值法,有

(2n?1)?2n?zfn?1(z)12lim?lim?z2n?12n?1n??f(z)n??2(2n?1)?2?zn要级数收敛,则

z?2 级数绝对收敛,收敛半径为

R?2

所以收敛圆周

z?2

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