inf(z)?()?(z?1)n(n?1)(4) 记 nn limnfn(z)?limnn??n??z?1(z?1)n(n?1)?limn??nn?1???,??????若????1若????1nn所以
z?1?1时绝对收敛,收敛半径R?1
收敛圆周
z?1?1
10.求下列级数的和函数.
(1)??(?1)n?1nzn? n?1 (2)?(?1)n?z2n? n?0(2n)! 解: (1)
limCn?1n??C?limn?1?nn??n1
故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：
?z??nn-1?0(?1)nzdz??(?1)nzn?zn?1n?11?z
所以
??(?1)n?nzn-1?(z)??1,n?11?z(1?z)2z?1
于是有：
??(?1)n?1?nzn??zn?1??(?1)n?nzn?1??zn?1(1?z)2
?1)n?z2ns(z)?(2) 令：
?(?n?0(2n)! QlimCn?1n??C?lim1nn??(2n?1)(2n?2)?0.
故R=∞, 由逐项求导性质
?z)??(?1)n?z2n?1s?(n?1(2n?1)!
z?1
??z2n?2z2mz2nm+1ns??(z)??(?1)???(?1)?(m?n?1)???(?1)?(2n?2)!(2m)!(2n)! n?1m?0n?0?n由此得到s??(z)??s(z) 即有微分方程s??(z)?s(z)?0
故有：s(z)?Acosz?Bsinz， A, B待定。
z2n由S(0)?A?[?(?1)?]z?0?1?A?1
(2n)!n?0?nz2n?1s?(0)??sinz?Bcosz?[?(?1)?]z?0?0?B?0
(2n?1)!n?1?n所以
z2n(?1)??cosz.R????(2n)!n?0
?n
11.设级数
?Cn?0?n收敛，而
??Cn?0?n发散，证明
?Cznn?0?n的收敛半径为1
证明：因为级数设
?Cn?0n收敛
Cn?1Zn?1lim??z.nn??CnZ
若
?Cznn?0?n的收敛半径为1
则z?1?
现用反证法证明??1
n??若0???1则z?1，有
limCn?1????1Cn，即?Cn收敛，与条件矛盾。
n?0若??1则z?1，从而矛盾。
?Cznn?0?n在单位圆上等于
?Cn?0?n，是收敛的，这与收敛半径的概念
综上述可知，必有??1，所以
R?1??1
?n12.若?Cznn?0在z0点处发散，证明级数对于所有满足z?z0点z都发散.
?nCzz?z?n10证明：不妨设当时，在z1处收敛
n?0则对?z?z1，n?0??Cznnn?n绝对收敛，则n?0?Czn?n在
点
z0处收敛
所以矛盾,从而?Czn?0在z?z0处发散.
4?zln(1?e)z?0z13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半
径.
1?ez解:因为ln(1?e)?ln(z)e
?z奇点为zk?(2k?1)πi(k?0,?1,...)
所以R?π 又
ln(1?e?z)?zz?0?ln2
e?z[ln(1?e)]???1?e?z?zz?01??
2??122
e?z[ln(1?e)]????(1?e?z)2?e?z?e?2z[ln(1?e)]????(1?e?z)3?zz?0z?0?0
[ln(1?e)]?z(4)e?z(1?4e?z?e?2z)?(1?e?z)4z?0??123
于是，有展开式
11214ln(1?e?z)?ln2?z?z?z?...,R?π22!224!23
14z?1?2(z?1)14.用直接法将函数1?z2在点处展开为泰勒级数,(到项)
1
z??i解：为1?z2的奇点，所以收敛半径R?2
又
f(z)?11,f(1)?1?z22 ?2z1?,f(1)??(1?z2)22
f?(z)??2?6z21??f??(z)?,f(1)?(1?z2)32 24z?24z3f???(z)?,f???(1)?0 24(1?z)f(4)24?240z2?120z4(4)(z)?,f(1)?0
(1?z2)5于是，f(z)在z?1处的泰勒级数为
1111324??(z?1)?(z?1)?(z?1)?...,R?221?z2244!
15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.
13sinz在z?0处 z?0z?1(1) 2z?3分别在和处 (2)
(3) arctanz在z?0处 (4) (5) ln(1?z)在z?0处
zz?2处
(z?1)(z?2)在
11111?2n3????????(z),z??解 （1）2z?33?2z31?2z3n?032
3?11111???????2n(z?1)n,z?1? 2z?32z?2?12(z?1)?11?2(z?1)2n?0(?1)n2n?1z3z5sinz??z?z???... (2) (2n?1)!3!5!n?0?3?32n?12n?1nsinz??(?1)?z,z??
4n?0(2n?1)!31dz01?z2(3)
?z??i为奇点，?R?1Qarctanz??z?z?11n2nnarctanz??dz?(?1)zdz?(?1)??z2n?1,z?1 ??2?01?z02n?1n?0n?0z(4)
111111111????????(z?1)(z?2)z?1z?2z?2?3z?2?431?z?241?z?2341?z?2n1?z?2nn??(?1)?()??(?1)n?() 3n?034n?04?11??(?1)n?(n?1?n?1)(z?2)n,z?2?334n?0(5)因为从z??1沿负实轴ln(1?z)不解析 所以,收敛半径为R=1
?1[ln(1?z)]????(?1)n?zn
1?zn?0n1(?1)?zdz?(?1)??zn?1,z?1??0nn?0n?0
nnz??ln(1?z)??
16.为什么区域z?R内解析且在区间(?R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？
答：因为当z取实数值时，f(z)与f(x)的泰勒级数展开式是完全一致的，而在x?R内，