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浙江省2006年10月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设Z是整数集，M={2，4，6，…，2n,…}
?:n→2|n|+4 ?n∈Z
则?是从Z到M的（ ） A.满射而非单射 C.一一映射
B.单射而非满射 D.既非单射又非满射
2.设R为实数集，以下关系中，哪个是集合A的元间的等价关系（ ） A.A=R，关系～：a～b?a2+b2=0 B.A=R，关系～：a～b?a≥b C.A=R，关系～：a～b?|a-b|≤1
D.A=Mn(R)（实数域上n阶方阵集），关系～：a～b?秩（A）=秩（B） 3.设a，b，c是群G的三个元，则以下等式成立的是（ ） A.（ab）-1=a-1b-1 C.若a2=e则a=a-1
B.(ab)-2=b-2a-2 D.若ab=c则ba=c
4.下列各数集，对于普通加法和乘法不能作成环的是（ ） A.R1={5n|n∈Z} B.R2={a+b5|a,b∈Z} C.R3={a+b2+c3|a,b,c∈Z} D.R4={a+bi|a,b∈Z,i2=-1}
5.3次对称群S3中，与元（123）可交换的元有（ ） A.1个 C.3个
B.2个 D.4个
二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设A={a,b,c},则A中可定义不同的代数运算有________个。 2.剩余类加群Z6的全部生成元是________。
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3.剩余类环Z4的可逆元共有________个。 4.理想（3）∩（7）=________。
5.设循环群G=(a)，如果a的周期无限，则(a)同构于________。 6.域F的全部理想是________。
7.一个整环I叫做主理想环，假如________。 8.设Q为有理数域，S={2i},则Q(S)=________。
29.e5在有理数域上的极小多项式是________。
三、(本大题共3小题，第1、2小题各10分，第3小题14分，共34分) 1.设群G的阶为4，且G中不含阶为4的元，试作出G的乘法表。 2.设3阶对称群S3={（1），（23），（13），（12），（123），（132）} （1）写出S3中每一个元素的阶； （2）找出S3的全部不变子群。 3.设R为剩余类环Z10 （1）写出Z10的所有零因子； （2）写出Z10的全部可逆元素； （3）找出Z10的所有理想子环。
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
1.设R={（a,b）|a,b为实数}关于如下定义的元素相等及两个代数运算作成环.
（a,b）=(c,d) ?a=c,b=d (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
证明R关于这两个代数运算作成一个整环.
2.设H、K都是群G的子群，且H和K的阶分别为6和35. 证明H∩K={e}.
3.在高斯整数环Z［i］中，主理想（2+i）含有哪些元？
Z[i](2?i)?i含有哪些元？
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