3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示
双基达标 ?限时20分钟?
1．有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的→→→
关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c，也是空间的一个基底．其中正确的命题序号是________．
解析 对于①“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的 关系一定共线”所以①错误；②③正确． 答案 ②③
2.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为→→→
△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{AB，AC，AD}→
为基底，则CE＝________. 解析 ∵G为△ABC的重心， →2→21→→∴AG＝AM＝×(AB＋AC)
3321→→
＝(AB＋AC)， 3→→∵BE＝3ED
→3→3→→∴BE＝BD＝(AD－AB)
44
→→→→3→→1→3→
AE＝AB＋BE＝AB＋(AD－AB)＝AB＋AD，
444→→→
故GE＝AE－AG
1→3→1→→＝AB＋AD－(AB＋AC) 4431→1→3→＝－AB－AC＋AD
1234
1→1→3→
答案 －AB－AC＋AD
1234
3.已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，→→→→
用基底向量OA，OB，OC表示向量OG为________． →→→→2→
解析 OG＝OM＋MG＝OM＋MN
31→2→→＝OA＋(ON－OM) 231→21→→1→＝OA＋[(OB＋OC)－OA] 23221→1→→1→＝OA＋(OB＋OC)－OA 2331→1→1→＝OA＋OB＋OC. 6331→1→1→答案 OA＋OB＋OC
633
4．已知a＝{3λ，6，λ＋6}，b＝{λ＋1，3，2λ}，若a∥b，则λ＝________. 6λ＋6解析 由a∥b，得＝＝，解得λ＝2.
2λλ＋13答案 2
5．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与2a－b平行，则实数k＝________. k－1
解析 计算得ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，由ka＋b与2a－b平行得
3k2
＝＝，解得k＝－2. 2－2答案 －2
6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD.→
建立适当坐标系求MN的坐标．
→→→
解 设AD＝i，AB＝j，AP＝k，以i，j，k为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．
3λ
→→→→∵MN＝MA＋AP＋PN① →→→→MN＝MB＋BC＋CN②
又∵M、N分别为AB、PC的中点 →→→
由①＋②得2MN＝AP＋BC＝k＋i， 1111→1→
，0，?. ∴MN＝(k＋i)＝i＋k，∴MN＝?2??2222
综合提高（限时25分钟）
→→
7．在△ABC中，A(2，－5，3)，AB＝(4，1，2)，BC＝(3，－2，5)，则顶点B、C的坐标分
别为________．
→→
解析 由A(2，－5，3)，AB＝(4，1，2)，解得B(6，－4，5)，再由BC＝(3，－2，5)， 解得C(9，－6，10)．
答案 B(6，－4，5)，C(9，－6，10)
→→→→→
8.如图，点M为OA的中点，以{OA，OC，OD}为基底，DM＝xOA→→
＋yOC＋zOD，则实数对(x，y，z)＝________.
→→→1→→→
解析 DM＝OM－OD＝OA＋0OC－OD，所以实数对(x，y，
21
z)＝(，0，－1)．
21
答案 (，0，－1)
2
9．已知a＝2(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ的值为________．
解析 有共面向量定理知存在实数x，y使得a＝xb＋yc，即(4，－2，6)＝(－x，4x，－ 2x)＋(7y，5y，λy)，