三角化简求值测试题
3ππ5π
1．若sinα＝，α∈(－，)，则cos(α＋)＝________.
522431111
2．已知π<θ<π，则 ＋ ＋cosθ＝________.
22222cos10°＋3sin10°3．计算：＝________.
1－cos80°
4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________．
112
5．函数f(x)＝(sin2x＋)的最小值是________． 2)(cosx＋2010sinx2010cos2x
2π1π
6．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)＝_____.
5444
1
7．若3sinα＋cosα＝0，则2的值为________．
cosα＋sin2α8.
2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．
110πππ
9．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为_________．
tanα3424
10．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________．
2cos5°－sin25°11． 的值为________．
cos25°
12．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝________________.
1－cos2α1
13．已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝________.
sinαcosα3
6
14．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是________.
2
ππ
15．已知角α∈(，)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.
42ππ
(1)求tan(α＋)的值；(2)求cos(－2α)的值．
43
sin2α＋cos2(π－α)π
16. 已知tanα＝2.求(1)tan(α＋)的值；(2)的值．
41＋cos2α
17．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，
34
若点A的坐标为(，)，记∠COA＝α.
55
1＋sin2α(1)求的值；(2)求|BC|2的值．
1＋cos2α
18．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝
sinA＋sinB
，sin(B－A)＝cosC.，，求角A。
cosA＋cosB
参考答案与解析
3ππ5π
1．若sinα＝，α∈(－，)，则cos(α＋)＝________.
5224
ππ345π22
解析：由于α∈(－，)，sinα＝得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋)＝－(cosα－sinα)＝－.
22554210311112．已知π<θ<π，则 ＋ ＋cosθ＝________.
22222
3ππθ3ππθ3π
解析：∵π<θ<，∴<<，<<.
2224448111111θ＋ ＋cosθ＝ ＋ cos2 222222211θθ＝ －cos＝sin. 2224cos10°＋3sin10°3．计算：＝________.
1－cos80°cos10°＋3sin10°2cos(10°－60°)2cos50°解析：＝＝＝2. 2sin240°2sin40°1－cos80°4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1
π
＝2sin(2x＋)＋1≥1－2.
4
112
5．函数f(x)＝(sin2x＋)的最小值是________． 2)(cosx＋2010sinx2010cos2x
(2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1)
解析：f(x)＝
20102sin2xcos2x
20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋1＝ 20102sin2xcos2x
201122
＝sin2xcos2x＋≥(2011－1)． 222－2010sinxcosx201020102π1π
6．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)＝_____.
5444
π21
tan(α＋β)－tan(β－)－454ππ3
解析：tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝＝.
44π2122
1＋tan(α＋β)tan(β－)1＋×454
1
7．若3sinα＋cosα＝0，则2的值为________．
cosα＋sin2α
sin2α＋cos2α9sin2α＋sin2α101
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则2＝＝＝.
cosα＋sin2αcos2α＋2sinαcosα9sin2α－6sin2α36
8．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是
2
解析：a＝2sin59°，c＝2sin60°，b＝2sin61°，∴a 13133 或a2＝1＋sin28°<1＋＝，b2＝1＋sin32°>1＋＝，c2＝，∴a 222229.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________． 解析：原式＝4cos24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4. 110πππ 10．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为_________． tanα3424 1－tan2απ22tanα34π2 解析：由题意知，tanα＝3，sin(2α＋)＝(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝2＝，cos2α＝2＝－.∴sin(2α＋)＝425421＋tanα51＋tanα 342(－)＝－. 5510 11．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________． 12ππ 解析：f(x)＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝sin4x，所以T＝＝. 242 2cos5°－sin25°12． 的值为________． cos25° 2cos(30°－25°)－sin25°3cos25° 解析：由已知得：原式＝＝＝3. cos25°cos25°13．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝________________. 解析：|a－2b|2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a－2b|＝3. 1－cos2α1 14．已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝________. sinαcosα3 1－cos2α1－tan2α12tanα1 解析：因为＝1，即1－2＝×2，所以2tanα＝1，即tanα＝，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝sinαcosα21＋tanα21＋tanα 11－－32tan(β－α)－tanα＝＝－1. 11＋tan(β－α)tanα 1－6 ππ 15．已知角α∈(，)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0. 42ππ (1)求tan(α＋)的值；(2)求cos(－2α)的值． 43解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0， ππ443 又α∈(，)，∴tanα＝，sinα＝，cosα＝， 42355 π4 tanα＋tan＋1 43π (1)tan(α＋)＝＝＝－7. 4π4 1－tanαtan1－43724 (2)cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2sinαcosα＝， 2525 πππ17324243－7cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2α＝×(－)＋×＝. 33322522550 sin2α＋cos2(π－α)π 16．已知tanα＝2.求(1)tan(α＋)的值；(2)的值． 41＋cos2α π1＋tanαπ1＋2 解：(1)∵tan(α＋)＝，tanα＝2，∴tan(α＋)＝＝－3. 41－tanα41－2 sin2α＋cos2(π－α)2sinαcosα＋cos2α2sinα＋cosα15(2)＝＝＝tanα＋＝. 22cosα2cosα221＋cos2α 17．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形， 34 若点A的坐标为(，)，记∠COA＝α. 55 1＋sin2α(1)求的值；(2)求|BC|2的值． 1＋cos2α 3443 解：(1)∵A的坐标为(，)，根据三角函数的定义可知，sinα＝，cosα＝， 5555 1＋sin2α1＋2sinαcosα49∴＝＝. 2cos2α181＋cos2α 31433－43 (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.∴cos∠COB＝cos(α＋60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°.＝×－×＝， 525210 3－437＋43 ∴|BC|2＝|OC|2＋|OB|2－2|OC|·|OB|cos∠COB＝1＋1－2×＝. 105sinA＋sinB 18．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.(1)求角A，C.(2)若S△ABC＝3＋3，求 cosA＋cosBa，c. 解：(1)因为tanC＝ sinA＋sinBsinCsinA＋sinB ，即＝， cosCcosA＋cosBcosA＋cosB 所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB， 得sin(C－A)＝sin(B－C)， 所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)， π2π 即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝. 33