专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题
(对应学生用书第103页)
(限时：40分钟)
题型1 圆锥曲线中的定值问题 题型2 圆锥曲线中的最值，范围问题 题型3 圆锥曲线中的探索性问题 3 1,4 2 1．(2017·河南洛阳二模)已知动圆M过定点E(2,0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
→→
(2)设A，B是轨迹C上的两点，且OA·OB＝－4，F(1,0)，记S＝S△OFA＋S△OAB，求S的最小值.
【导学号：07804096】
[解] (1)设M(x，y)，PQ的中点为N，连接MN(图略)， 则|PN|＝2，MN⊥PQ， ∴|MN|＋|PN|＝|PM|. 又|PM|＝|EM|， ∴|MN|＋|PN|＝|EM|，
∴x＋4＝(x－2)＋y，整理得y＝4x. ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y＝4x.
2
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2
?y1??y2?(2)设A?，y1?，B?，y2?，不妨令y1＞0， ?4??4?
11
则S△OFA＝·|OF|·y1＝y1，
22→→
∵OA·OB＝－4， ∴x1x2＋y1y2＝
2y21y2
22
16
＋y1y2＝－4，
解得y1y2＝－8， ①
当y1＝－y2时，AB⊥x轴，A(2,22)，B(2，－22)，
S△AOB＝42，S△OFA＝2，S＝52.
x－
4y－y1
当y1≠－y2时，直线AB的方程为＝22，
y2－y1y2y1
4－4
y21
即y－y1＝
?y1?4?x－??4?
y1＋y2
2
，令y＝0，得x＝2，
∴直线AB恒过定点(2,0)，设定点为E， 1
∴S△OAB＝|OE|·|y1－y2|＝y1－y2，
28
由①可得S△OAB＝y1＋，
y1
8?1?∴S＝S△OFA＋S△OAB＝y1＋?y1＋? y1?2?38
＝y1＋≥212 2y1
3843??＝43?当且仅当y1＝，即y1＝时，取等号?.
2y13??综上，Smin＝43.
x2y2
2．(2017·陕西教学质量检测)已知F1，F2为椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点
abP?1，?在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4.
2
??
3?
?
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，11使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
|AC||BD|
【导学号：07804097】
[解] (1)∵|PF1|＋|PF2|＝4， ∴2a＝4，a＝2.
x2y2
∴椭圆E：＋2＝1.
4b?3?2
将P?1，?代入可得b＝3，
?2?
∴椭圆E的方程为＋＝1.
43
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，
1117＋＝＋＝； |AC||BD|34121
x2y2
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)， 代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k)x＋8kx＋4k－12＝0.
43设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
8k4k－12
则x1＋x