专题14 与数列相关的综合问题
考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 高考示例 2017课标全国掌握非等差、等比数列求和的几种常1.数列求和 见方法 掌握 2016课标全国Ⅱ,17 能在具体的问题情境中识别数列的等2.数列的综合应用 差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题
分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.
2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知A. 【答案】B
【解析】分析:先证不等式详解：令
，因此
则
，再确定公比的取值范围，进而作出判断. ，令
得
，所以当，则
，则
，即
，时，
，当
时，
B.
成等比数列，且
C.
D.
．若
，则
掌握 2017山东,19; 选择题 2015福建,8; 解答题 2013重庆,12 ★★★ Ⅰ,12; 解答题 ★★★ 常考题型 预测热度 ， 若公比
，不合题意；若公比
但
，不合题意；因此，选B.
点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
2．【2018年浙江卷】已知集合大依次排列构成一个数列________． 【答案】27
【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
．记为数列
，
的前n项和，则使得
．将
的所有元素从小到
成立的n的最小值为
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常
见类型主要有分段型（如3．【2018年理数天津卷】设
，（I）求
和
，
），符号型（如），周期型（如
，
）. 是等差数列.已知
是等比数列，公比大于0，其前n项和为，
.
的通项公式； 的前n项和为
，
（II）设数列（i）求；
（ii）证明.
2
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. ，则
.结合等差数列通项公式可得
【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得
（II）（i）由（I），有，则.
（ii）因为
详解：（I）设等比数列
.设等差数列
从而
故
，裂项求和可得
的公比为q.由的公差为d，由 所以数列
可得，可得
由，数列
.因为
. ，可得，可得
的通项公式为
，故
的通项公式为
（II）（i）由（I），有，故.
（ii）因为，
所以.
点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．【2018年江苏卷】设是排列
，对1，2，···，n的一个排列
，如果当s ，则称 的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列 为1，2，···，n的所有排列中 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记逆序数为k的全部排列的个数． （1）求（2）求 的值； 的表达式(用n表示)． 【答案】（1）2 5 2）n≥5时， 【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确 3