平面向量与三角恒等变换相结合问题分析
平面向量与三角恒等变换都是人教版高中数学必修四中的内容，这些内容在整个高中数学知识体系中占有重要地位，也是一个高考考察的热点问题。其中平面向量是重要的数学概念和工具,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性。它们都与与代数、几何有着密切的联系。在此我仅对平面向量与三角函数结合性问题做简要分析。
准备知识：向量加、减、数乘运算及两向量间共线、垂直，数量积、夹角关系等知识点。
三角函数中同角三角函数关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。 平面向量与三角恒等变换相结合问题如下：
一：结合平面向量运算律考察三角函数的化简求值。
利用向量的运算律得到一个与三角函数有关的式子然后利用三角函数公式进行三角恒等变换进行化简求值。
例1：已知向量a??3sinx,cosx?，b??23,1?，若a//b，求
sinxcosx值。
解：由a/公式）
/b，?3sinx?23cosx （利用向量平行
?tanx?2 （利用同角三角函数关系
sinxtanx?）
cosxsinxcosxsinxcosxtanx??sinxcosx? 2221sinx?cosx1?tanx（此处用到两个技巧：①利用同角三角函数关系将1转化为sin②分子分母同时除以cos题）
22x?cos2x
x将正弦、余弦转化为正切问
2将tanx?2带入得到：sinxcosx?。
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二：结合平面向量数量积与三角函数性质求特殊角
利用平面向量夹角公式等问题求解三角函数中某角的值或范围。 例
2：已知向量a??sinx,1?，b?2sinx,3sinx?? ，若2a?b，
且角x的终边不在坐标轴上，求夹角x。
解：由2a?b，?2a?b?0， （两向量垂直，则它们的数量
积为0）
?2?sinx,1??2sinx,3sinx?0
??2sinx,2??2sinx,3sinx?0 （利用数乘
向量）
?????4sin2x?23sinx?0 即 sinx2sinx?3?0
（注：此处以sinx为自变量，当成一个整体，提取公因式）
??33 由角x终边不在坐标轴上?sinx?? ?sinx?0或sinx??2245?x???2k?或x??2k??k?z?
33（考察知识点：向量的数乘运算，向量数量积，向量垂直公式，三角函数特殊值，三角函数周期性等问题）
三：利用平面向量，结合三角函数性质求新函数周期，最值，单调性 例3：设函数
f?x??a?b，其中向量
a??2coxs,cxo，?sb??sinx,2cosx?，x?R。①求函数f?x?周期。②求函数f?x?最大值
及此时x值的集合。③求函数
f?x?的单调增区间。
解：
f?x??a?b?2sinxcosx?2cos2x
?sin2x?cos2x?1 （利用二倍角正弦、余
弦公式）
?2?2?2?sin2x?cos2x??1
2?2?（形如函数y?asinx?bcosx，我们可提取转化为ya2?b2进行化简，将函数?Asin?wx???的形式，再进行一系列求解）
?????2?sin2xcos?cos2xsin??1
44??????2sin?2x???1 （利用两角和的正弦公式进
4??行转化）
2?2???? ①周期T?2w???②当sin?2x???1时，f?x??1?2 max4?????????2k? ??x|x??k?,k?z? 此时2x?428??????③当2x????2k?,?2k?时，函数f?x?单调递增。
?4?2?2???????2k??2x???2k?
2423????3????k??x??k? 即单调增区间为，??k?,?k????888?8???k?z?
（②③两个问题中需将2x??4当成一个整体?，具有整体代换思想，再利用正
弦函数最基本的性质求解）
向量与三角函数结合是高中数学知识的一个交汇点，也是高考的一个考点，其目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形能力、运算能力、推理能力，同时也有利于考查学生对平面向量的综合运算能力。熟练掌握这方面问题，对学生的高考去得好成绩有着极其重要的作用。