小学+初中+高中+努力=大学
专题03 导数
一．基础题组
1. 【2008全国1，文4】曲线y?x?2x?4在点(1，3)处的切线的倾斜角为（ ） A．30° 【答案】B 【解析】
B．45°
C．60°
D．120°
3y??3x2?2,?k?3?12?2?1,?tan??1,???45.,
322. 【2005全国1，文3】函数f(x)?x?ax?3x?9，已知f(x)在x??3时取得极值，则=
（A）2 【答案】D
（B）3
（C）4
（D）5
3.【2017新课标1，文14】曲线y?x?【答案】y?x?1 【解析】
试题分析：设y?f(x)，则f?(x)?2x?所以曲线y?x?221在点（1，2）处的切线方程为______________． x1，所以f?(1)?2?1?1， 2x1在点(1,2)处的切线方程为y?2?1?(x?1)，即y?x?1． x【考点】导数几何意义
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y?f(x)上的一点，则以P为切点的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0)．若曲线
y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x?x0．
4. 【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；,
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 【解析】(1)f′(x)＝e(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
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小学+初中+高中+努力=大学 故b＝4，a＋b＝8.
5. 【2011全国1，文20】
已知函数f(x)?x?3ax?(3?6a)x?12a?4，a?R. (Ⅰ)证明：曲线y?f(x)在x?0的切线过点（2，2）；
32（1，3），（Ⅱ）若f(x)在x?x0处取得最小值，x0?求a的取值范围。
【解析】(Ⅰ)f(x)?x?3ax?(3?6a)x?12a?4，f?(x)?3x?6ax?3?6a，故x=0处切线斜率
322k?3?6a，又f(0)?12a?4,?切线方程为y?12a?4?(3?6a)x
即(3?6a)x?y?12a?4?0，当x?2,y?2时
(3?6a)?2?2?12a?4?6?12a?2?12a?4?0
故曲线y?f(x)在x?0处的切线过点(2,2), （Ⅱ）
x0处取极小值，令g(x)?3x2?6ax?3?6a,由题意知g(x)在(1,3)有解
且x?x0时g(x)?0;x?x0时g(x)?0，
???(6a)2?4?3(3?6a)?0???(6a)2?4?3(3?6a)?0??g(1)?0或?g(1)?0?a?2?1 故???g(3)?0g(3)?0??6. 【2009全国卷Ⅰ,文21】已知函数f(x)=x-3x+6.
4
2
(1)讨论f(x)的单调性;
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(2)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.
【解析】:(1)f′(x)=4x-6x=4x·(x?3
66)(x?). 22当x∈(-∞,?66)和x∈(0,)时,f′(x)＜0; 22当x∈(?66,0)和x∈(,+∞)时,f′(x)＞0. 226666)和(0,)上是减函数,f(x)在区间(?,0)和(,+∞)上是增函数. 2222因此,f(x)在区间(-∞,?
7. 【2007全国1，文20】（本小题满分12分）设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值。,
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对任意的x?[0,3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围。 【解析】：
（Ⅰ）f?(x)?6x?6ax?3b，
因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0.
2232小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
即??6?6a?3b?0，24?12a?3b?0．
?解得a??3，b?4.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，
f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2).
当x?(01)，时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0.
二．能力题组
1. 【2007全国1，文11】曲线y?13x3?x在点(1,43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A.19 B.29 C.13 D.23 【答案】：A
【解析】：对x求导，得y'=x2+1
在点(1,4/3)处，导数为y'=2，∴此处切线为:y-(4/3)=2(x-1) 即6x-3y-2=0
与两坐标轴的交点是(0,-2/3)和(1/3,0)
∴与坐标轴围成的三角形的面积是：S=(2/3)*(1/3)/2=1/9 2.【2011新课标，文21】 21.（本小题满分12分）, 小学+初中+高中+努力=大学
）