习题
22-1．计算下列客体具有10MeV动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：E?EK?m0c2 用相对论公式，
24E2?c2p2?m0c 可得
p?11124242E2?m0c?(EK?m0c2)2?m0c?EK?2m0c2EK ccch?pch 22EK?2m0cEK??3?108?6.63?10?34?
6?192?31826?19(10?10?1.6?10)?2?9.1?10?(3?10)?10?10?1.6?10?1.2?10?13m
（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：
??hh6.63?10?34???9.1?10?15m p2mE2?1.67?10?27?10?106?1.6?10?19
22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为
（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 25.0kV，解：（1）用非相对论公式：
hhh6.63?10?34??????7.8?10?12mp2mE2meU2?9.1?10?31?1.6?10?19?25?103（2）用相对论公式：
24E2?p2c2?m0c
E?m0c2?Ek?eU
??h?ph2mE?h22m0c2eU?（eU）?7.7?10?12m
?222-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距d?7.32?10nm，中子的动能
Ek?4.20eV，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.
解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：
hh6.63?10?34?????1.4?10?11m
?27?19p2mE2?1.67?10?4.2?1.6?10再利用晶体衍射的公式，可得出：2dsin??k? k?0,1,…2
k?1.4?10?11 sin????0.095 ， ??5.482d2?7.32?10?1122-4．以速度v?6?10 m/s运动的电子射入场强为E?5V/cm的匀强电场中加速，为使电子波长??1A，电子在此场中应该飞行多长的距离？
?3hh6.63?10?34解：?????1?10?10m
p2mE2?9.1?10?31?1.6?10?19U可得：U=150.9V，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm。
22-5．设电子的位置不确定度为0.1A，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为
?1keV，计算电子能量的不确定度。
h1.05?10?34解：由测不准关系： ?p???5.25?10?24 ?102?x2?0.1?10 由波长关系式：??h ?E?c?Ec 可推出： ???h
EE??EE2??1.24?10?15J hc?pc??2?22-6．氢原子的吸收谱线??4340.5A的谱线宽度为10A，计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解：能量E?h??hc?，由于激发能级有一定的宽度ΔE，造成谱线也有一定宽度Δλ，两者
之间的关系为：?E???hc?2
由测不准关系，?E?t?/2,平均寿命τ=Δt，则
(4340.5?10?10)2?2?2??5?10?11s ???t????2?1082?E2??hc4???c4?3.14?10?10?3?10?722-7．若红宝石发出中心波长??6.3?10m的短脉冲信号，时距为1ns(10s)，计算
?9该信号的波长宽度??。
解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： ?x?c?t
?2?2?x???
2?px4??????2(6.3?10?7)2?????1.323?10?3nm 8?9c?t3?10?10
22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为?L???h，式中?L为粒
子角动量的不确定度，??为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，半径为r，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度?L?r?P 而做圆周运动时： ?x?r??
利用：?P??x?h 代入，可得到：?L???h。
22-9．计算一维无限深势阱中基态粒子处在x?0到x?L/3区间的几率。设粒子的势能分布函数为：
?U(x)?0,0?x?L? U(x)??,x?0和x?L?解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0 ?2n?sinx,0?x?L??n(x)?化的波函数为：? ll??(x)?0,x?0和x?L?n概率密度为： Pn(x)? 粒子处在x?0到x?L/3区间的几率：Pn(x)?如果是基态，n=1，则Pn(x)?22n?sinx,0?x?L lll30?22n?112n?sinx??sin ll32n?3?l3022?112?sinx??sin?0.195 ll32?3?1422-10．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽L?10m。 （1）质子的零点能量有多大？ （2）由n?2态跃迁到n?1态时，质子放出多大能量的光子？ h22n 解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：En?8mah2?3.29?10?13J。n=1时为零点能量：En? 8ma（2）由n=2态跃迁到n=1态时，质子放出光子的能量为： h2?E?E2?E1?（4?1）?9.87?10?13J。 8ma 22-11．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算n?3时氢原子可能具有的轨道角动量。 解：当n=3，l的可能取值为：0，1，2。 而轨道角动量L? l（l?1）h 所以 L的取值为：0，2h，6h