第二章 导数与微分及导数的应用
一 导数的概念与导数的计算
1. 导数的晚概念及几何意义 （1）导数的定义
设函数
点处有增量，函数
时，极限
在点的某一邻域内有定义，当自变量在就有相应的增量
，若当
存在，则称函数处的导数，记为
在点处可导，并称此极限值为函数在点
或.
如果极限
不存在，则称函数在点处不可导.
导数概念是高等数学一个重要的基本概念，应深刻理解它
的定义形式及实际背景.应注意以下两点：
·导数的另一种表达形式为· 对于固定的，要搞清
示
在点导数的值，而后者表示对常数
.
（2）导数的几何意义
.
与
的差别.前者表求导数，因此
函数
在点
切线的倾斜角图2.1 如果函数
在点
如果函数为：
（3）左、右导数
处的切线的斜率，即
在点处的导数
，其中
表示曲线是在
处
，如图2.1所示.
在点 处连续，而导数为无穷大，即
处的切线垂直于 轴 .
，则曲线
在点处可导，则曲线
，法线方程为
在点处的切线方程
左导数：
右导数：
函数
在点处可导的充分必要条件是：
.
在处的左、右导数均
存在且相等，即
[注意]
·可导与连续的关系
若函数若函数
在处可导，那么函数在处连续，该函数
必在处连续，反之，
在
在处未必可导.如函数
处连续但不可导，即函数在处可导是连续的充分条件，而连续是可导的必要条件.由此可知，若不可导.
·分段函数在分界点处的导数
函数在处可导的充要条件是在处的左、右导数均存在并相等，因此要求分段函数在分界点处的导数，首先要求出该点的左导数和右导数，如果都存在并相等，那么函数在该点处可导，且；如果在处的左、右导数有一个不存在或
者左、右导数都存在但不相等，那么函数在该点不可导.
2. 求导数的方法
（1）基本初等函数的导数公式
在处不连续，则在处必
（为常数）；
（为任意实数）；
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