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2008年华南理工数学分析考研试题
及解答
n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意 n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明 显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?， f
是单射，所以f?1存在， f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续， f?x??f?y??x?y，得 对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th， f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有 t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆， 隐函数组存在定
理，所以f?1存在，且是连续可微的。 例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解 方法一 显然fn?t???， nt对任意t??0,???，有limfn?t??0， n??fn?t??sinntnt??t， ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；
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对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?， n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的， 综合以上结果， 故?fn?t??
在?0,???上是一致收敛于0的. 1 方法二 fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?， ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的 例3、 判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致
连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、 设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上 f?x,y??0，在D内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明 因为f?x,y?在D上连续， 设M?maxf?x,y?， ?x,y??D则M?0， 假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M， 于是有 ?f?f?x0y0??0，?x0y0??0， ?x?y?
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?f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾， ??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0， ?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答 一．求解下列各题 1、设 ，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。 ?0，证明limn??xn?a2 1、解 0?lim?xn?a2a??lim?1??， n??x?an??x?ann?? 知lim2a?1，所以limxn?a. n??n??x?an?cos?x,当x为有理数f(x)??2、设当x为无理数， ?0,证明 f(x)在点xk?k?1处连续，而在其它点处不连续。 21??2、证明 f?xk??cos??k???0， 2??显然有limf?x??0?f?xk?，即f?x?在点xk处连续； x?xk对x0?xk，当x沿着无理点趋向于x0时，f?x?极限为0， 当x沿着有理点趋向于x0时，极限为cos?x0?0， 所以limf?x?不存在，f?x?在x0处不连续， x?x0结论得证.
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