课时作业55 直线与圆锥曲线
[基础达标] 1．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程． 164解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 由于A、B两点均在椭圆上， 故＋＝1，＋＝1， 164164两式相减得 x2y2x21y21x22y22x1＋x216x1－x2＋y1＋y24y1－y2＝0. 又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝y1－y23＝－. x1－x243∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)． 4即3x＋4y－13＝0. 2. x2y23[2019·郑州入学测试]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的四个顶ab2点为顶点的四边形的面积为8. (1)求椭圆C的方程； 1(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若2∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度． c3?＝，?a2解析：(1)由题意知?2ab＝8，??a＝b＋c，222 ??a＝8，解得?2?b＝2.?2 1
所以椭圆C的方程为＋＝1. 821(2)设直线l：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2x2y2??联立，得?xy??8＋2＝1，y＝x＋m，222212 消去y，化简整理，得x＋2mx＋2m－4＝0. 22则由Δ＝(2m)－4(2m－4)>0，得－2 a＝2，??c2解析：(1)由题意得?＝，a2??a＝b＋c，222 x2y22 解得b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. 42y＝kx－1，??22(2)由?xy＋＝1，??42 22得(1＋2k)x－4kx＋2k－4＝0. 222设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 4k2k－4x1＋x2＝2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k所以|MN|＝＝＝21＋k22x2－x1[x1＋x222＋2y2－y12 －4x1x2] 1＋k4＋6k21＋2k. |k|1＋k2又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝2， 1|k|4＋6k所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝， 221＋2k|k|4＋6k10由＝，解得k＝±1. 21＋2k34．[2019·山西八校联考]如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 2 (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2⊥QB2，求直线l的方程． x2y2解析：(1)设所求椭圆的标准方程2＋2＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)． ab因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|， 3