一线三等角 相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型 反A字型 反8字型 母子型 旋转型 双垂直 三垂直 相似三角形判定的变化模型 A DBCE 一线三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° A （1）求证：△BDE∽△CFD E F （2）当BD=1，FC=3时，求BE 【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B， 求证：△BDE∽△DFE A F E C B D 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B； A （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解读式，并写出函数的定义域． M （3）当△APM为等腰三角形时， 求PB的长． C B P 【例4】（1）在?ABC中，AB?AC?5，BC?8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ??ABC. ①若点P在线段CB上（如图），且BP?6，求线段CQ的长； ②若BP?x，CQ?y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的 定义域； （2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直线．．CB、DC（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ?90?. 当CQ?1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. A D A Q B P C 上 A B 备用图 C B 图12 C 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。 【例5】已知：菱形ABCD,AB=4m, ∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒 （1）连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。 （2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。 （3） 当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF. ADADADQBPCKBPCQBC 【应用】 1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D． （1）直接写出点B的坐标． AD=3:2 （2）当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD: ，求点P的坐标． 2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解读式，并写出函数的定义域；②当S?DMF? 9S?BEP时，求BP的长． 4A D E A D E B P （第25题
C B （备用图）
C