高考数学140冲刺专题:20由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题含解析30

问题20 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题

一、考情分析

递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中,难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项. 二、经验分享

(1) 已知Sn,求an的步骤

当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1;(3)对n=1时的情况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式. 整理得:

(叠乘法)因为,

a32ana43n?1???所以, ,…, , a21a32an?1n?2an?n?1,且当n=1、2时,满足此式, 相乘得a2所以

.

(三) 用构造法求数列的通项

【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列?an?满足: a1?1,则数列?an?的通项公式为__________.

,( n?N*),

【分析】变形为,构造新数列求解.

【答案】an?1 n2?1得:

,变形得:

,所以{【解析】由

1?1}是以2为公比an的等比数列,所以

,所以an?1. 2n?1【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出an.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构

造的新数列的形式,再确定系数.

{bn}满足a1?【小试牛刀】已知数列{an},【答案】

2015. 20161,an?bn?1,2 ,n?N?,则b2015? .

(四) 利用Sn与an的关系求数列的通项 【例4】已知数列?an?的前n项和为Sn,(1)求?an?的通项公式;

,数列?bn?的前n项和为Tn,证明:

(2)设.

【分析】(1)已知和Sn与项an的关系,要求通项公式,可在已知代n(n?3),得

(n?2)基础上,用n?1,两式相减得an(n?2)的递推式,求得an,注意a1的值与an的表达式

,考虑到证明和Tn?的关系;(2)由(1)bn是分段函数形式,n?2时,

7,因此可放缩以求10和,从而得,可证得不等式.

又由,于是 故.

【小试牛刀】已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*). (I)证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式;

1(Ⅱ)数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若Tn?a对正整数a都成立,求a的

bnbn?1取值范围. 【答案】(Ⅰ)

;(Ⅱ)a?1. 2

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