微积分基本定理
【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。
2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。
【要点梳理】
要点一、微积分基本定理的引入
我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。
(1)导数和定积分的直观关系:
如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s＇(t)。设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用 s(t)、v(t)表示s吗？
一方面,这段路程可以通过位置函数S(t)在[a,b]上的增量s(b)－s(a)来表达, 即 s=s(b)－s(a)。
另一方面,这段路程还可以通过速度函数v(t)表示为 即 s =
?bav(t)dt,
?bav(t)dt。
所以有:
?bav(t)dt?s(b)－s(a)
(2)导数和定积分的直观关系的推证:
上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下:
如右图:用分点a=t0＜t1＜…＜ti－1＜ti＜…＜tn=b, 将区间[a,b]等分成n个小区间: [t0,t1],[t1,t2],…,[ti―1,ti],…,[tn―1,tn], 每个小区间的长度均为
1
?t?ti?ti?1?b?a。 n当Δt很小时,在[ti―1,ti]上,v(t)的变化很小,可以认为物体近似地以速度v(ti―1)做匀速运动,物体所做的位移
?si?hi?v(ti?1)?t?s'(ti?1)?t?b?as'(ti?1)。 ② n从几何意义上看,设曲线s=s(t)上与ti―1对应的点为P,PD是P点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD的斜率等于s＇(ti―1),于是
?si?hi?tan?DPC??t?s'(ti?1)??t。
结合图,可得物体总位移
s???si??hi??v(ti?1)?t??s'(ti?1)?t。
i?1i?1i?1i?1nnnn显然,n越大,即Δt越小,区间[a,b]的分划就越细,程度就越好。由定积分的定义有
?v(ti?1ni?1)?t??s'(ti?1)?t与s的近似
i?1nnbbb?ab?as?lim?v(ti?1)?lim?s'(ti?1)??v(t)dt??s'(t)dt。
aan??n??nni?1i?1n结合①有
s??v(t)dt??s'(t)dt?s(b)?s(a)。
aabb上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),那么v(t)=s＇(t)在区间[a,b]上
的定积分就是物体的位移s(b)―s(a)。
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x?)那么f(x,)?baf(x)dx?F(?b)F。(a
这个结论叫做微积分基本定理。
要点二、微积分基本定理的概念
微积分基本定理:
一般地,如果F'(x)?f(x),且f(x)在[a,b]上可积,则论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。
其中,F(x)叫做f(x)的一个原函数。为了方便,我们常把F(b)?F(a)记作F(x)a,即
b?baf(x)dx?F(b)?F(a)。这个结
?
baf(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)。
b2
要点诠释:(1)根据定积分定义求定积分,往往比较困难,而利用上述定理求定积分比较方便。
(2)设f(x)是定义在区间I上的一个函数,如果存在函数F(x),在区间I上的任何一点x处都有F'(x)?f(x),那么F(x)叫做函数f(x)在区间I上的一个原函数。根据定义,求函数
f(x)的原函数,就是要求一个函数F(x),使它的导数F'(x)等于f(x)。由于[F(x)?c]'?F'(x)?f(x),所以F(x)?c也是f(x)的原函数,其中c为常数。
(3)利用微积分基本定理求定积分
?baf(x)dx的关键是找出使F'(x)?f(x)的函数
F(x)。通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反
方向求出F(x)。
要点三、定积分的计算
1.求定积分的一般步骤是:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差; (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
(4)利用牛顿―――莱布尼兹公式求出各个定积分的值; (5)计算原始定积分的值。 2.定积分的运算性质。
①有限个函数代数和(或差)的定积分等于各个函数定积分的代数和(或差),即
?ba[f1(x)?f2(x)??fn(x)dx]??f1(x)dx??f2(x)dx?aabb??fn(x)dx。
ab②常数因子可提到积分符号前面,即
?bakf(x)dx?k?f(x)dx。
ab③当积分上限与下限交换时,积分值一定要反号,即④定积分的可加性,对任意的c,有
?baf(x)dx???f(x)dx。
bbca?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。
ac3.定积分的计算技巧:
(1)对被积函数,要先化简,再求积分。
(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和。 (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分。 要点诠释:
① 求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.因此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
② 把积分上、下限代入原函数求差时,要按步骤进行,以免发生符号错误。
③ 由于?F(x)?c?'?f(x),F(x)?c也是f(x)的原函数,其中c为常数.
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