2019版高考数学一轮总复习 第5章 数列 5.3 等比数列及其前n项
和模拟演练 理
1．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )
?3?nA．4×??
?2??2?nC．4×??
?3?
答案 B
?3?n－1
B．4×??
?2??2?n－1
D．4×??
?3?
?6?2
解析 由题意得(a＋1)＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以an＝4×???4?
n－1
?3?n－1
＝4×??.
?2?
2．[2017·常州模拟]在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为( ) 111A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 222答案 C
?a1q＝7，?
解析 根据已知条件得?2
??a1＋a1q＋a1q＝21，
2
∴
1＋q＋q2
q212
＝3，即2q－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.
2
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则S9的值是( ) A．255 B．256 C．511 D．512 答案 C
解析 解法一：依题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵S3＝7，S6＝63，∴
???a??
a1
1
－q1－q3
＝7，
6
－q1－q＝63，
解得?
?a1＝1，???q＝2，
∴S9＝511，选C.
解法二：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∵S3＝7，
S6＝63，∴S9－S6＝448，∴S9＝448＋S6＝448＋63＝511，选C.
4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 C．－5 答案 D
解析 设数列{an}的公比为q??a4＋a7＝2，
，由?
?a5·a6＝a4·a7＝－8，?
B．5 D．－7
??a4＝4，
得?
?a7＝－2?
或
??a4＝－2，?
?a7＝4，?
a1＝－8，??
所以?31
q＝－?2?
??a1＝1，
或?3
?q＝－2，?
??a1＝－8，
所以?
?a10＝1?
??a1＝1，
或?
?a10＝－8，?
所以
a1＋a10＝－7.
19
5．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a3a5＝a1，且a4与a7的等差中项为，48则S5等于( )
A．35 B．33 C．31 D．29 答案 C
111266
解析 设等比数列{an}的公比是q，所以a3a5＝a1q＝a1，得a1q＝，即a7＝.又a4＋a7
4449a711a11－q3
＝2×，解得a4＝2，所以q＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝
8a4821－q31，故选C.
6．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
3答案
2
??a1＋a1q＝3a1q＋2，
解析 由题意得?233
?a1＋a1q＋a1q＋a1q＝3a1q＋2，?
5
1??16?1－?
?32?＝＝11－2
32322
两式作差，得a1q＋a1q＝3a1q(q－1)，即2q－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．
27．等比数列{an}满足：对任意n∈N2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，则公比q＝________. 答案 2
122
解析 由题知2(anq－an)＝3anq，即2q－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，又an＋1>an，
2故q＝2.
8．[2017·重庆模拟]已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，
*,
a2，a5成等比数列，则S8＝________.
答案 64
解析 由a1、a2、a5成等比数列，得(a1＋d)＝a1(a1＋4d)，即(1＋d)＝1＋4d，解得d＝1＋15
2(d＝0舍去)，S8＝×8＝64.
2
1
9．[2016·全国卷Ⅰ]已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn3
＋1
2
2
＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和．
1
解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差
3为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，
31
因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
3记{bn}的前n项和为Sn，
bn?1?n1－??1?3?3
则Sn＝＝－n－1.
122×31－3
10．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn＋1＋Sn. (1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为an＋1＝Sn＋1＋Sn，① 所以当n≥2时，an＝Sn＋Sn－1，② ①－②得an＋1－an＝an＋1＋an， 即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an， 因为an>0，所以an＋1－an＝1，
所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列． 由①知a2＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2， 所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③ 又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N)． (2)由(1)得bn＝a2n－1·2an＝(2n－1)·2，
n*
2
2
22
2
2
Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④
2Tn＝2＋3·2＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·2
2
2
3
nn＋1
，⑤
n＋1
④－⑤得－Tn＝2＋2×2＋…＋2×2－(2n－1)·22
所以－Tn＝2＋
3
n，
－21－2
n＋1
n－1
－(2n－1)·2
n＋1
，
故Tn＝(2n－3)·2＋6.
[B级 知能提升](时间：20分钟)
11．[2016·天津高考]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件 C．必要而不充分条件 答案 C
解析 若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0；若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.
B．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
a2
a1