csin Asin（120°－C）31
由正弦定理得a＝＝＝＋.
sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形，故0° 所以 282因此，△ABC面积的取值范围是? [解题方略] 三角形面积公式的应用原则 111 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角 222的公式. (2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化. 1 三角形面积公式还可用其它几何量表示S＝(a＋b＋c)r，其中a＋b＋c为三角形的周长， 2r为三角形内切圆的半径. 题型三 正、余弦定理的实际应用 [例4] 甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时. [解析] 如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AD＝4x，BC＝6x，则BD＝10－4x，由余弦定理得，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－4x)×6xcos 120°＝28x2－20x＋100＝28 33? . ，2??8 ?x－5?＋675.若甲船行驶2.5小时，则甲船?14?7 6751521 ＝，77 2 5 到达海岛B，因而若x<2.5，则当x＝时距离最小，且最小距离为 14 15215 若x≥2.5，则BC≥6×2.5＝15>，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时. 714 [答案] [解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤 5 14 [跟踪训练] 1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B1b ＝4csin C，cos A＝－，则＝( ) 4c A.6 C.4 B.5 D.3 解析：选A ∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2＋c2－a2b2＋c2－（4c2＋b2）－3c21b b.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴ ＝6.故选A. 2bc2bc2bc4c 2 π 2.(2019·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝3，且cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin 3Bsin C，则C＝________，BC＝________. 解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－2sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－2sin Bsin C.结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－2·AC·AB，所以cos A＝5π答案： 12 2 π5π2ACBC，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝2. 2412sin Bsin A3.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B). (1)求角C； 33 (2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 2解：(1)由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)， 即a2＋b2－c2＝ab. a2＋b2－c21π 所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝. 2ab23(2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7， 1333又S＝absin C＝ab＝， 242所以ab＝6， 所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7. 考点三 解三角形与三角函数的交汇问题 [例5] 如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15. (1)求△ABC的面积； (2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10，0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋π φ)?M>0，ω>0，|φ| 2?? 个交点，求f(x)的解析式. [解] (1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A， 又A＋B＋C＝π，所以A＝ π . 3 设角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos π， 3 所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋56. 因为CO＝10×sin π ＝53， 3 125 所以S△ABC＝×(5＋56)×53＝(32＋3). 22(2)因为AO＝10×cos π ＝5， 3 所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30， π故ω＝. 15 π 因为f(－5)＝Msin?×（－5）＋φ?＝0， ?15? ππ 所以sin?－＋φ?＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z. 3?3?因为|φ|< ππ ，所以φ＝. 23 π ＝53，所以M＝10， 3 因为f(0)＝Msin ππ 所以f(x)＝10sin?x＋?. ?153? [解题方略] 解三角形与三角函数交汇问题一般步骤 [跟踪训练] (2019·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，3cos x)，x∈R，1 设函数f(x)＝m·n＋. 2 (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间； (2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝22，△ABC1 的面积为，求a的值. 2 π1 解：(1)由题意知，f(x)＝cos2x＋3sin xcos x＋＝sin?2x＋?＋1. 26??令2x＋ π?ππππ ∈－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z，解得x∈?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z， 6?226??3? ππ ∴函数f(x)的单调递增区间为?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 6?3?π (2)∵f(A)＝sin?2A＋?＋1＝2， 6??π ∴sin?2A＋?＝1. 6?? ππ13π ∵0＜A＜π，∴＜2A＋＜， 666πππ ∴2A＋＝，即A＝. 626 11 由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2， 22 又b＋c＝22，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)＝(22)2－4?1＋ ? 3?＝2? 4－23＝(3－1)2， 解得a＝3－1. 数学建模——解三角形的实际应用 [典例] 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹 射实验，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地2 晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°. 17 (1)求A，C两地间的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s) 2 [解] (1)设BC＝x m，由条件可知AC＝x＋×340＝(x＋40)m. 17在△ABC中，由余弦定理，可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC， 1 即x2＝1002＋(x＋40)2－2×100×(x＋40)×， 2解得x＝380. 所以AC＝380＋40＝420(m)， 故A，C两地间的距离为420 m. (2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°， 所以HC＝ACtan 30°＝420× 3＝1403， 3 故这种仪器的垂直弹射高度为1403 m. [素养通路] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决