=16?2[f(3)?f(0)]?20. （18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
dyd2y,【分析】 先将y?,y??转化为，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. dtdt2【详解】 y??dydt1dy???， dtdxsintdtdy?dtcostdy1d2y1??[2?]?(?)， y???2dtdxsintdtsintdtsintd2y?y?0. 代入原方程，得
dt2解此微分方程，得 y?C1cots?C2sint?C1x?C21?x2， 将初始条件yx?0?1,y?x?0?2代入，有C1?2,C2?1. 故满足条件的特解为y?2x?1?x2.
（19）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1.
【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.
【详解】 （I） 令F(x)?f(x)?1?x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在??(0,1), 使得F(?)?0，即f(?)?1??.
（II） 在[0,?]和[?,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点??(0,?),??(?,1)，使得f?(?)?f(?)?f(0)f(1)?f(?)，f?(?)?
??01??f(?)1?f(?)1???????1. ?1???1??于是 f?(?)f?(?)?（20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
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y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.
.【详解】 由题设，知
?f?f?2x，??2y， ?x?y于是 f(x,y)?x2?C(y)，且 C?(y)??2y，从而 C(y)??y2?C， 再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 f(x,y)?x2?y2?2.
?f?f?2f?0,?0得可能极值点为x=0,y=0. 且 A?2令?x?y?x?2f?2，B?(0,0)?x?y(0,0)?0，
?2fC?2?y(0,0)??2，
??B2?AC?4?0，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.
y2?1上的情形：令拉格朗日函数为 再考虑其在边界曲线x?42y2?1)， F(x,y,?)?f(x,y)??(x?42??f?F??2?x?2(1??)x?0,?x?x??f?y1?解 ?Fy?????2y??y?0,
?y22?y2?2F???x??1?0,?4? 得可能极值点x?0,y?2,??4；x?0,y??2,??4；x?1,y?0,???1；x??1,y?0,???1. 代
y2入f(x,y)得f(0,?2)??2, f(?1,0)?3，可见z=f(x,y)在区域D?{(x,y)x?最?1}内的最大值为3，
42小值为-2.
（21）（本题满分9分）
计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.
22【详解】 记D1?{(x,y)x?y?1,(x,y)?D}，
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D2?{(x,y)x2?y2?1,(x,y)?D}，
于是
??Dx2?y2?1d?=???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy
D1D2?=??20d??(r2?1)rdr???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy
01DD1?1?112?1222=+?dx?(x?y?1)dy??d??(r?1)rdr=?.
0004380（22）（本题满分9分） 确定常数
a,使向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组
但向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，性表示.
【分析】向量组?1,?2,?3可由向量组?1,?2,?3线性表示，相当与方程组：
?i?x1?1?x2?2?x3?3,i?1,2,3.
均有解，问题转化为r(?1,?2,?3)=r(?1,?2,?3??i),i?1,2,3是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示，相当于至少有一个向量?j(j?1,2,3)不能由?1,?2,?3表示，即至少有一方程组
?j?x1?1?x2?2?x3?3,j?1,2,3，无解.
【详解】 对矩阵A?(?1,?2,?3??1,?2,?3)作初等行变换，有
?1?2?2?11a???
aa?1a1 A?(?1,?2,?3??1,?2,?3)=1???a?a11??a4??2?2?11a??1??
0 ? 0a?2a?2?0a?1????04?2a3a?01?a1?a???2?11a??1?2?0???0a?2a?2?0a?1?， ?0a?4?03(1?a)1?a??0? - 13 -
?1?2?2?11?2??, 显然?不能由
000?0?30A??当a=-2时，因此a??2；?1,?2,?3线性表示，2???3??00?6?03?当a=4时，
4??1?2?2?11??，然
6?030 A?06?2,?3均不能由?1,?2,?3线性表示，因此a?4.
???0?0?9?3??00?而当a??2且a?4时，秩r(?1,?2,?3)?3，此时向量组?1,?2,?3可由向量组?1,?2,?3线性表示.
?11a?1?2?2???
aa又B?(?1,?2,?3??1,?2,?3)?1a1?1???a??a11?a4?1a?1?2?2??1?? ?0a?11?a?0a?2a?2 ??2??01?a1?a?04?2a3a??1a?1?2?2??1?，
??0a?11?a?0a?2a?2??2?02?a?a?06?3a4a?2??0?由题设向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示，必有a?1?0或2?a?a?0，即a=1或
2a??2.
综上所述，满足题设条件的a只能是：a=1.
（23）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），且AB=O, 求????36k??线性方程组Ax=0的通解.
【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.
【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)?r(B)?3.
（1）若k?9, 则r(B)=2, 于是r(A)?1, 显然r(A)?1, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：
?1??3?????x?k1?2??k2?6?,k1,k2为任意常数.
?3??k?????(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1?r(A)?2.
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?1???1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：x?k1?2?,k1为任意常数.
?3???2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：ax1?bx2?cx3?0,不妨设a?0,则其通解为
???b??c?x?k?a???k??a??1?1??2??0?,k1,k2为任意常数.
?0??1????????- 15 -