2007年数学一试题分析、详解和评注
分析解答所用参考书：1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义（理工类）》，简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿.
一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当x?0时，与x等价的无穷小量是 (A) 1?ex?. (B) ln1?x. (C) 1?x?1. (D) 1?cosx. 【 】
1?x【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
【详解】当x?0时，有1?e?x??(ex?1)~?x；1?x?1~1x； 21?cosx~11(x)2?x. 利用排除法知应选(B). 22【评注】 本题直接找出ln1?x的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小
1?x很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上，
lnx?0?lim1?xx?tln(1?t2)?ln(1?t)1?x?limln(1?x)?ln(1?x)?lim ??x?0t?0txx2t1?22t(1?t)?1?t21?t1?t?lim?1. =lim2?t?0?t?01(1?t)(1?t)完全类似例题见《经典讲义》P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6. (2)曲线y?1?ln(1?ex)，渐近线的条数为 x(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??，所以x?0为垂直渐近线；
x?01xx又 lim[?ln(1?e)]?0，所以y=0为水平渐近线；
x???1xx 1
y1ln(1?ex)ln(1?ex)ex]?lim?1， 进一步，lim?lim[2?=limx???xx???xx???x???1?exxx lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]
x???x???x????x1xxx =lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0，
x???x???x?x于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).
【评注】 一般来说，有水平渐近线(即limy?c)就不再考虑斜渐近线，但当limy不
x??x??存在时，就要分别讨论x???和x???两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x<0 的一侧有水平渐近线，而在x>0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数e当x??时极限不存在，必须分x???和x???进行讨论。
重点提示见《经典讲义》P.145页，类似例题见P.150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8.
(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?下列结论正确的是
x?x0f(t)dt.则
35F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). 【 】
44(A) F(3)??【答案】 应选(C).
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)?F(3)是两个半圆面积之差：F(3)?1?， 21133[??12???()2]??=F(2)， 228403?30F(?3)???30f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)
因此应选(C).
【评注1】 本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此
F(?2)???20f(x)dx???f(x)dx，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.
?20【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》P.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12
(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：
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f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (C) 若lim存在，则f?(0)存在. (D) 若lim存在，则f?(0)存在
x?0x?0xx(A) 若lim【 】
【答案】 应选(D).
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)?lim?0，可见(C)也正确，存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0xx?0x故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)?x在x=0处连续，且
limx?0x??xf(x)?f(?x)?0存在，但f(x)?x在x=0处不可导。 =limx?0xx重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见P.41例2.1, P.42例2.6及P.60
习题2及辅导班讲义例2.5.
(5)设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是：
(A) 若u1?u2，则{un}必收敛. (B) 若u1?u2，则{un}必发散.
(C) 若u1?u2，则{un}必收敛. (D) 若u1?u2，则{un}必发散. 【 】
【答案】 应选(D).
【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
2【详解】 设f (x)=x, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但
{un}?{n2}发散，排除(C); 设f(x)=
1, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且x1{}收敛，但{un}?排除(B); 又若设f(x)??lnx，则f(x)在(0,??)上f??(x)?0,u1?u2，
n具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{?lnn}发散，排除(A). 故应选(D).
【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若u1?u2，则存在k?0，使得u2?u1?k?0. 在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理, 存在?1?(1,2)使得
u2?u1f(2)?f(1)??f?(?1)?k?0, 2?12?1又因为在(0,??)上f??(x)?0, 因此f?(x)在(?1,??)上单调增加，于是对?x?(?1,??)有
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