课时跟踪训练(十七) 抛物线的简单性质
1．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为( )
A．4 C．4或－4
2
B．－2 D．2或－2
2．已知F是抛物线y＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段
AB的中点到y轴的距离为( )
3A. 45C. 4
B．1 7D. 4
2
3．(新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y＝42x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )
A．2 C．23
2
B．22 D．4
4．设抛物线y＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于( )
A．43 C．83
B．8 D．16
5．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是____________________． 6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)． 7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．
2
8．已知y＝x＋m与抛物线y＝8x交于A，B两点． (1)若|AB|＝10，求实数m的值； (2)若OA⊥OB，求实数m的值．
答 案
1．选C 由题意知抛物线方程可设为x＝－2py(p＞0)， 则＋2＝4， 2
∴p＝4，∴x＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.
1
2．选C 根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|
21315
＋|BF|)－＝－＝.
4244
3．选C 如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
2
2
2
p
由|PF|＝x0＋2＝42，得x0＝32，代入抛物线方程得，y0＝42×32＝24， 11
所以|y0|＝26，所以S△POF＝|OF||y0|＝×2×26＝23.
22
4．选B 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－3，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝
4
＝8.
cos 60°
2
??2
5．解析：设抛物线的方程为y＝2ax，则F?，0?.
?2?
∴|y|＝
2a×＝a＝|a|.
2
aa2
由于通径长为6，即2|a|＝6， ∴a＝±3.∴抛物线方程为y＝±6x. 答案：y＝±6x
6．解析：由抛物线方程y＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．
2
2
2
?5?又∵它的焦点坐标为F?，0?，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也?2?
合适．
而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤
??2
7．解：设抛物线方程为y＝2px(p>0)，则焦点坐标为?，0?，准抛物线方程为x＝－.
2?2?
∵M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即 ∴
pp?2－p?2＋y2＝
?2?0??
2
?2＋p?2＝3.
?2???
解得：p＝1，y0＝±22， ∴抛物线方程为y＝2x.
∴点M(2，±22)，根据两点间距离公式有： |OM|＝2＋±22
??y＝x＋m，
8．解：由?2
?y＝8x?
2
2
＝23.
得x＋(2m－8)x＋m＝0.
2
2
2
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m