(全国新课标)2017年高考数学大二轮复习 第三编 考前冲刺攻略 第三步 应试技能专训 二 中档题专练 文

二、中档题专练

(一)

1.[2016·长春监测]已知函数f(x)=2sinxcosx+23cosx-3. (1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间;

2

?Aπ?(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f?-??26?

133

=3,且sinB+sinC=,求△ABC的面积.

14

π??2

解 (1)f(x)=2sinxcosx+23cosx-3=sin2x+3cos2x=2sin?2x+?,

3??2π

因此f(x)的最小正周期为T==π.

2

f(x)的单调递减区间为2kπ+≤2x+≤2kπ+

π7π??即x∈?kπ+,kπ+?(k∈Z). 1212??

π

2π33π

(k∈Z), 2

π??Aπ?π??Aπ?(2)由f?-?=2sin?2?-?+?=2sinA=3,又A为锐角,所以A=. 3?26???26?3?

a714

由正弦定理可得2R===,

sinA33

2

sinB+sinC=

b+c133

=, 2R14

2

2

2

13314b+c-a则b+c=×=13,由余弦定理可知,cosA==

142bc3可求得bc=40,

1

故S△ABC=bcsinA=103.

2

b+c2

-2bc-a2

2bc1=,2

1

2.[2016·开封一模]如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB2=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.

(1)求证:AD⊥平面BCD; (2)求三棱锥C-ABD的高.

解 (1)证明:∵平面ADC⊥平面ABC,且AC⊥BC, ∴BC⊥平面ACD,即AD⊥BC,又AD⊥CD, ∴AD⊥平面BCD. (2)由(1)得AD⊥BD,

11

∴S△ADB=23,∵三棱锥B-ACD的高BC=22,S△ACD=2,∴×23h=×2×22,

3326

∴可解得h=. 3

3.[2016·河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物,经过一年的生长发育,技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).

(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;

(2)在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株,求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率.

8

解 (1)由题意可知,样本容量n==50,

0.016×10

y=

2

=0.004, 50×10

x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.

(2)由题意可知,高度在[80,90)内的株数为5,记这5株分别为a1,a2,a3,a4,a5,高度在[90,100]内的株数为2,记这2株分别为b1,b2.

抽取2株的所有情况有21种,分别为:

(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,

a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).

其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,

a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).

1011

∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P=1-=. 2121

(二)

1.[2016·云南统检]设数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,3an-2Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:Sn+2Sn

解 (1)∵对任意正整数n,3an-2Sn=2,∴3an+1-2Sn+1=2, ∴3an+1-3an-2Sn+1+2Sn=0,即3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0, ∴3an+1-3an-2an+1=0,解得an+1=3an. 当n=1时,3a1-2S1=2,即a1=2, ∴an=2×3

n-1

2

.

n-1n∴数列{an}的通项公式为an=2×3(2)证明:由(1)可得Sn=∴Sn+1=3

n+12

.

=3-1,

n-31-3-1,

-1,Sn+2=3

nn+2

∴Sn+2Sn-Sn+1=-4×3<0, ∴Sn+2Sn

2.[2016·山西联考]某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1:

年份x 储蓄存款y(千亿元) 下表2:

时间代号t 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 2011 5 2012 6 2013 7 2014 8 2015 10 2

为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x-2010,z=y-5得到z (1)求z关于t的线性回归方程;

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